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normalerweise habe ich bei diesen Aufgaben keine großen Probleme, hier fehlt mir jedoch jeglicher Ansatz aufgrund der linearen Abbildung und der fehlenden Funktionsvorschifrt. Würde mich über jegliche Hilfe sehr freuen !

Bild Mathematik

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Vorschlag zu den Eigenwerten: { -1, 0, 5 }.

Danke erstmal, aber könntest du mir vielleicht auch noch verraten, wie du darauf gekommen bist? Würde das sehr gerne verstehen.

L(x + 1) = 5x + 5 = 5·(x + 1). L(x2 + 1) = -x2 - 1 = (-1)·(x2 + 1).

Ok vielen Dank, das macht Sinn. Jedoch verstehe ich dann nicht, wie du auf die 0 kommst :/ denn L(x2+x)=x+1≠0*(x2+x).
5·L(x2 + x) - L(x + 1) =  5·(x + 1) - (5x + 5) = 0
⇒ L(5x2 + 4x - 1) = 0·(5x2 + 4x - 1).

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und die Funktionsvorschrift kannst du doch ermitteln.

Du suchst also sowas wie L(ax^2 + bx + c ) = ?

du kannst ja ax^2 + bx + c durch die gegebene Basis darstellen

in der Form  u(x^2+x) + v(x+1) + w(x^2+1) = (u+w)*x^2 + (u+v)x + (v+w)

also hast du a=u+w  und  b= u+v  und  c = v+w 

oder umgeformt w=(a-b+c)/2 und u=a+b-c)/2 und v=( - a +b +c )/2

außerdem weisst du ja, dass L ( u(x^2+x) + v(x+1) + w(x^2+1))

= u(x+1) + v(5x+5) + w(-x^2 - 1 ) ist.

=ux + u + 5vx + 5v - wx^2 - w

= -w x^2 + (5v+u)x + 5v+u-w)

jetzt die Ergebnisse von oben einsetzen und du hast eine

Funktionsvorschrift.

Und die Matrix ist

0     0     0
1    5      0
0    0      -1

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