Lineare Abbildung: Eigenwerte/-räume, char. Polynom..

Question

normalerweise habe ich bei diesen Aufgaben keine großen Probleme, hier fehlt mir jedoch jeglicher Ansatz aufgrund der linearen Abbildung und der fehlenden Funktionsvorschifrt. Würde mich über jegliche Hilfe sehr freuen !

Comments

Vorschlag zu den Eigenwerten: { -1, 0, 5 }.

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Danke erstmal, aber könntest du mir vielleicht auch noch verraten, wie du darauf gekommen bist? Würde das sehr gerne verstehen.

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L(x + 1) = 5x + 5 = 5·(x + 1). L(x² + 1) = -x² - 1 = (-1)·(x² + 1).

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Ok vielen Dank, das macht Sinn. Jedoch verstehe ich dann nicht, wie du auf die 0 kommst :/ denn L(x²+x)=x+1≠0*(x²+x).

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5·L(x² + x) - L(x + 1) =  5·(x + 1) - (5x + 5) = 0
⇒ L(5x² + 4x - 1) = 0·(5x² + 4x - 1).

Answer 1

und die Funktionsvorschrift kannst du doch ermitteln.

Du suchst also sowas wie L(ax^2 + bx + c ) = ?

du kannst ja ax^2 + bx + c durch die gegebene Basis darstellen

in der Form  u(x^2+x) + v(x+1) + w(x^2+1) = (u+w)*x^2 + (u+v)x + (v+w)

also hast du a=u+w  und  b= u+v  und  c = v+w

oder umgeformt w=(a-b+c)/2 und u=a+b-c)/2 und v=( - a +b +c )/2

außerdem weisst du ja, dass L ( u(x^2+x) + v(x+1) + w(x^2+1))

= u(x+1) + v(5x+5) + w(-x^2 - 1 ) ist.

=ux + u + 5vx + 5v - wx^2 - w

= -w x^2 + (5v+u)x + 5v+u-w)

jetzt die Ergebnisse von oben einsetzen und du hast eine

Funktionsvorschrift.

Und die Matrix ist

0     0     0
1    5      0
0    0      -1