Induktionsbeweis: Zeigen Sie f(n):= 5+16+33+...+n(3n+2)=(n(1+n)(3+2n))/2

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie

f(n):= 5+16+33+...+n(3n+2)=(n(1+n)(3+2n))/2

für alle n∈ℕ

Ansatz:

Induktionsanfang:

Die Formel gilt für n=1.

Links 1*5=5

Rechts: 10/2=5

Induktionsschritt:

Induktionssvoraussetzung: Die obige Gleichung stimmt für ein n.

f(n):= 5+6+33+...+n(3n+2)=(n(1+n)(3+2n))/2

für n ∈ ℕ

Induktionsbehauptung:

Wenn sie für ein n stimmt, dann stimmt sie auch für den Nachfolger.

\( \sum \limits_{k=1}^{n+1}{(k+1)(3k+5)} \)  =(n+1)(n+1)(3+2(n+1))/2

\( \sum\limits_{k=1}^{n+1}{(k+1((3k+5)} \)  =(n+1)^2(5+2n))/2

......

\( \sum\limits_{k=1}^{n+1}{(k+1)(3k+5)} \) = (5n^3+15n^2+15n+5)/2

Induktionsschluss: Die Behauptung gilt für alle n.

Wäre das so korrekt? Wie kann ich mich am Ende überprüfen, ob sie für alle n gilt. In die Gleichung am Ende für k einen Wert zB 1 und rechts einen Wert zB 1 einsetzen?

Answer 1

Wäre das so korrekt?

Nicht so ganz. Bis zur Induktionsvoraussetzung passt es. Die allgemeine Form der Reihe lautet hier $$f(n)= \sum_{k=1}^n k(3k+2)$$ wenn Du nun den Übergang von \(n\) nach \(n+1\) machst, so muss das \(n\) - und nur das \(n\)(!) - durch \(n+1\) ersetzt werden; also $$f(n+1) = \sum_{k=1}^{n+1} k(3k+2) = \dots$$ und dies muss nun in eine Form gebracht werden, wo später die Formel $$f(n) = \frac 12 n(n+1)(2n+3) \quad \to f(n+1) = \frac 12 (n+1)(n+2)(2n+5)$$ erscheint. Was die gleiche Formel wie oben ist, nur das eben das \(n\) durch ein \(n+1\) ersetzt ist. Das liefert Dein Ergebnis \( (5n^3+15n^2+15n+5)/2\) nicht; es ist auch falsch.

Wenn Du diese Rechnung machst, so darfst/musst Du die Induktionsvoraussetzung (Iv) verwenden und versuche immer Produkte zu erhalten. Multipliziere nicht zu viel aus. Weil das Faktorisieren am Ende ist u.U.ein Problem. Die Rechnung könnte sein: $$\begin{aligned}f(n+1) &= \sum_{k=1}^{n+1} k(3k+2) \\ &= \sum_{k=1}^{n} k(3k+2) \space + (n+1)(3n+5) &&\left| \text{Iv}\right.\\ &= \frac 12 n(n+1)(2n+3) + (n+1)(3n+5) \\ &= (n+1) (\frac 12 n(2n+3) + 3n+5) \\ &= \frac12 (n+1)(2n^2 +9n +10) \\ &= \frac 12 (n+1)(n+2)(2n+5) \quad \text{q.e.d}\end{aligned}$$ wie Du siehst habe ich den Faktor \((n+1)\) gleich heraus gezogen, genau wie das \(\frac12\), denn ich weiß ja wo ich hin will (s.o.).

Gruß Werner

Comments

Ich habe auf meinem Blatt folgendes bisher stehen:

\( \sum\limits_{k=1}^{n+1}{k(3k+2)} \) = ((n+1)*(1+(n+1)*(3+2*(n+1))/2

Hatte vorhin einen Fehler in der Rechnung. Den habe ich aber bereits ausgebessert. Zum Zeitpunkt als ich den Text verfasst habe, habe ich leider nicht nochmal drübergeschaut. Jetzt würde ich doch nur den Term auf der rechten Seite ausmultiplizieren und zeigen ,dass es bewiesen ist, oder nicht? Ich verstehe nicht, wie Du auf die 2. Zeile kommst in deiner Rechnung.

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Du hast den Term mit (n+1) und (3n+5) erweitert?

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Jetzt würde ich doch nur den Term auf der rechten Seite ausmultiplizieren

Wenn schon, dann musst Du es auf beiden Seiten aus multiplizieren, und dann muss auf beiden Seiten das gleiche stehen.

Ich verstehe nicht, wie Du auf die 2. Zeile kommst in deiner Rechnung.

Dies ist doch eine Summe: $$\sum_{k=1}^{n+1} k(3k+2) = 1(3\cdot1+2) + 2(3\cdot2 + 2) + \dots + n(3n+2) + (n+1)(3(n+1)+2)$$ und die Summe bis \(n\) hatten wir doch schon. Die ist $$\sum_{k=1}^{n} k(3k+2) = 1(3\cdot1+2) + 2(3\cdot2 + 2) + \dots + n(3n+2)$$ und den letzten Term habe ich heraus gezogen. Es ist $$ (n+1)(3(n+1)+2) = (n+1)(3n+3+2)=(n+1)(3n+5)$$

Du hast den Term mit (n+1) und (3n+5) erweitert?

Da ist kein Bruch, folglich wurde auch nirgendwo erweitert. Ich habe auch keine der Gleichung mit irgendwas mal genommen oder dividiert oder auf beiden Seiten hinzu gezählt. Alles nur algebraische Umformungen.

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Wie kommst Du auf die vorletzte Zeile auf 9n und +10? Die 2n^2 sind noch nachvollziehbar (n*2n). Müssten da nicht 6n hin? 3n + 3n anstelle von 9n

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könnte mir bitte jemand schnell von den Online Usern antworten? 

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(1/2n(2n+3)+3n+5) =  1/2(2n²+3n)+3n+5 =  1/2 (2n²+3n+6n+10) =1/2 (2n² + 9n + 10) 

Liebe Grüße 

Hans

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Wie kommst Du auf die vorletzte Zeile auf 9n und +10? Die 2n2 sind noch nachvollziehbar (n*2n). Müssten da nicht 6n hin? 3n + 3n anstelle von 9n 

Hans hat zwar schon geantwortet; ich schieb' noch mal nach. Es ist:

$$\begin{aligned} \dots &= (n+1) (\frac 12 n(2n+3) + 3n+5) \\ &= (n+1) (\frac 12 n(2n+3) + \frac12 \cdot 2(3n+5)) \\ &= \frac 12 (n+1) (n(2n+3) + 2(3n+5)) \\ &= \frac 12 (n+1) ( (2n^2+3n) + (6n+10)) \\ &= \frac 12 (n+1) ( 2n^2+3n + 6n+10) \\ &= \frac 12 (n+1) ( 2n^2+9n+10)  \end{aligned}$$