a≡ b (mod m) ∧ a≡ b (mod n) ∧ ggT (m,n)=1 => a≡b (mod m • n)

Question

kann mir jemand hierbei helfen?

a) Seien a, b ∈ℤ und m, n∈ℕ.

Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussage über Kongruenzen:

a≡ b (mod m) ∧ a≡ b (mod n) ∧ ggT (m,n)=1  => a≡b (mod m • n)

Answer 1

a≡ b (mod m) ∧ a≡ b (mod n) ∧ ggT (m,n)=1  => a≡b (mod m • n)

Nach Def. der Kongruenzen folgt: Es gibt r,s  ∈ℤ

==>  a-b = r*m    ∧  a-b = s*n         #

also    r*m    = s*n     .

Wegen   ggT (m,n)=1  haben m und n keine gemeinsamen Primfaktoren.

Also kommen alle Primfaktoren von m in s vor , also

gibt es ein x ∈ℤ  mit  s = x*m.

Das bei # eingesetzt gibt   a-b = (x*m)*n    = x * (m*n)

also   a≡b (mod m • n)

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Vielen Dank!