Gilt auch umgekehrt, dass aus a≡b mod m immer ac≡bc mod mc folgt, falls c ungleich 0?

Question

Aufgabe:

a) Beweisen Sie, dass man in einer Kongruenz einen gemeinsamen Faktor der Kongruenzgleichung und des Moduls kürzen kann, d.h. für c ungleich 0 folgt aus ac≡bc mod mc, dass a≡b mod m. Gilt auch umgekehrt, dass aus a≡b mod m immer ac≡bc mod mc folgt, falls c ungleich 0?

b) Beim Rechnen mit Kongruenzen dürfen Zahlen immer durch kongruente Zahlen ersetzt werden, d.h. falls a+b≡c mod m und b≡d mod m, dann gilt a+d≡c mod m.

c) Beweisen Sie mit Hilfe von Kongruenzen, dass die Summe zweier ungerader Quadratzahlen keine Quadratzahl sein kann.

Answer 1

a) $$a \equiv b \pmod m \quad\iff (a - b) \equiv 0 \pmod m \quad\iff\; (a - b) = km, \;k\in \mathbb Z. \\ (a-b) = km \;\iff\; c(a-b) = c(km),\; (c\neq 0)\quad \iff \;(ac - bc) = k(mc),\;k\in \mathbb Z. \\ \iff (ac - bc)\equiv 0\pmod{mc} \quad \iff \;ac\equiv bc \pmod{mc}, mc \in \mathbb Z.$$