Beweis der Kongruenzaussage: a≡b mod m => a^2≡b^2 mod m

Question

 

ich tue mir schwer damit, folgende Aussage formal zu beweisen:

a≡b mod m => a^2≡b^2 mod m 

Eine Zeichnung zu diesem Beweis wäre auch gut, um sie nachvollziehen zu können. Ich danke für jede Hilfe!

Answer 1

a≡b mod m => a²≡b² mod m 

Das ist ja eine Aussage über ganze Zahlen. Zu zeichnen fällt mir das nix

ein, aber zu rechnen:

a≡b mod m

=> Es gibt ein k∈ℤ mit a-b = k*m

So ähnlich werdet ihr wohl"kongruent" definiert haben.

vergleiche https://de.wikipedia.org/wiki/Kongruenz_(Zahlentheorie)#Formale_Definition)

==>  (a-b )*(a+b)= k*(a+b)*m

==>  a²-b²  = k*(a+b)*m

und wenn man jetzt sich g =k*(a+b) denkt, hat man:

Es gibt ein g∈ℤ mit a²-b²   = g*m , also

a²≡b² mod m          q.e.d.