Zeige a ≡ b mod m ∧ a ≡ b mod n ⇒ a ≡ b mod kgV(m,n) (Stecke fest)

Question

Ich muss das folgende zeigen:

$$a \equiv b \mod m \wedge a \equiv b \mod n \Rightarrow a \equiv b \mod kgV(m,n)$$

Ich hab schon probiert aber jetzt komm ich nicht weiter.

Das habe ich bis jetzt:

Zuerst habe ich die Angabe umgeschrieben:

$$m\mid (a-b) \wedge n\mid (a-b) \Rightarrow kgV(m,n)\mid (a-b)$$

Wenn ich es mit Nummern probiere macht es Sinn. Das kgV ist nie größer als (a-b) und es ist immer ein Teiler.

Dann habe ich es so umgeschrieben.

$$q_{1}\cdot m = a-b \\$$

$$q_{2}\cdot n = a-b \\$$

$$\Rightarrow q_{3}\cdot kgV(m,n) = a-b$$

Von den ersten beiden Zeilen kriege ich:

$$q_{1}\cdot m = q_{2}\cdot n$$

Aber jetzt weiß ich nicht weiter. Wenn das irgendwie eine Definition vom kgV wäre würde das alles lösen, aber so habe ich das nirgends im Internet gefunden.

Ist meine Vorgehensweise richtig und kann mir jemand weiterhelfen?

Oder gibt es da einen ganz anderen Weg um das zu beweisen?

Answer 1

mit den beiden Zeilen
q1*m = a-b und q2*n = a-b hast du doch
a-b ist Vielfaches von m und a-b ist Vielfaches von n,
also a-b ein gem. Vielfaches von m und n
und damit auch ein Vielfaches vom kgV(n,m).

d.h.   es gibt q3 aus Z mit  q3* kgv(n,m) ) = a-b      q.e.d.

Comments

Das ist sehr logisch, danke dir!