Der kleinste Innenwinkel jedes Dreiecks ist 30°, weil drei von diesen Winkeln einen rechten Winkel bilden
Die kürzeste Kathete im kleinsten Dreieck sei a, dann ist die längere Kathete a*√3, und die Hypotenuse ist 2a.
Der Ähnlichkeitsfaktor zwischen den Längen zweier benachbarter Dreiecke ist 2/√3.
Die Summe der Quadratflächen ist dann
3a² + a²(1+(4/3)+(4/3)²+(4/3)³+...+(4/3)8)
Da für die letzte Quadratseitenlänge gilt: 13/2=√[(4/3)8 a² ] = a*256/81, ist also a=13*81/512.
Der Summenterm lässt sich mit der Formel für die geometrische Reihe vereinfachen, und a kann eingesetzt werden.
Es lässt sich auch noch einfacher von außen nach innen entwickeln mit
A= 6,5²(1 + 3/4 +(3/4)²+...+(3/4)8 + 3*(3/4)8 ) = 169.
PS: Das Hypotenusenquadrat eines Dreiecks ist eines der beiden Kathetenquadrate des nächstgrößeren Dreiecks. Wenn man das reihum fortsetzt, kommt man am Ende auch auf die Summe 13²=169
