Lineare Algebra: Expizit nachrechnen, dass det(A · B) = det(A) · det(B) und det(E) = 1.

Question

Seien A, B ∈ Mat2(K). Rechnen Sie explizit nach, dass
det(A · B) = det(A) · det(B) und det(E) = 1.
Folgern Sie daraus, dass ähnliche Matrizen A, B ∈ Mat2(K) die gleiche Determinante haben.

Answer 1

A = [a, b; c, d]

B = [e, f; g, h]

det(A) = a·d - b·c

det(B) = e·h - f·g

det(A)·det(B) = a·d·e·h - a·d·f·g - b·c·e·h + b·c·f·g

A·B = [a·e + b·g, a·f + b·h; c·e + d·g, c·f + d·h]

det(A·B) = a·d·e·h - a·d·f·g - b·c·e·h + b·c·f·g

Für die Ähnlichkeit muss gelten

B = S^(-1)·A·S

det(B) = det(S^(-1))·det(A)·det(S)

det(B) = 1/det(S)·det(A)·det(S)

det(B) = det(A)