Determinante: Sei n ∈ N und seien ferner x, a0, a1, . . . , an−1 ∈ k. Zeigen Sie: det

Question

Sei n ∈ N und seien ferner x, a₀, a₁, . . . , a_n−1 ∈ k. Zeigen Sie:

det \( \begin{pmatrix} x & -1 & & & 0 \\ 0 & x & -1 \\ ⋮ & ⋱ &  ⋱ &  ⋱  \\ 0 & ... & 0 & x & -1 \\ a0 & a1 & ... & an-1 & x+an-1 \end{pmatrix} \) = xⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₀.

(a0 = a₀, a1 = a₁, an-1 = a_{n-1 ,} x+an-1 = x+a_n-1)

Comments

Hallo,

ich habe die gleiche Aufgabe, die ich leider nicht lösen kann. Wie soll ich mich vorgehen?

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Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie dass diese Determinante folgendes ergibt

Stichworte: determinante

Aufgabe:

… Determinante

Beweis,                Hinweis : Der letzte Eintrag der vorletzten Spalte ist a_n-2

Aufgabe:

(Determinante). Sei \( n \in \mathbb{N} \) und seien ferner \( x, a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n-1} \in \mathbb{k} . \) Zeigen Sie:

det\( \left(\begin{array}{cccccc}x & -1 & & & 0 \\ 0 & x & -1 & & \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \\ 0 & \cdots & 0 & x & -1 \\ a_{0} & a_{1} & \cdots & a_{n-1} & x+a_{n-1}\end{array}\right)=x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{0} \)

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https://www.mathelounge.de/740584/sei-n-n-und-seien-ferner-x-a0-a1-an1-k-zeigen-sie-det

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Vollständige Induktion mit Laplace-Entwicklung erste Spalte, wie MatHaeMatician schon gesagt hat.