Seien a0,...,a_n-1 € K und sei A € M_n(K). Bestimmen Sie det (XI_n -A).

Question

Seien a₀,...,a_n-1 € K und sei A  €  M_n(K) definiert durch:

$$ A = \left( \begin{array} { c c c c c } { 0 } & { \cdots } & { \cdots } & { 0 } & { a _ { 0 } } \\ { 1 } & { \ddots } & { } & { \vdots } & { a _ { 1 } } \\ { 0 } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { 0 } & { \vdots } \\ { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 1 } & { a _ { n - 1 } } \end{array} \right) $$

Bestimmen Sie det (XI_n - A).

Die Aufgabe sollte an sich gar nicht so schwer sein, aber ich komme einfach nicht auf die Lösung.

Answer 1

Es gilt

X{ I }_{ n }-A=\begin{pmatrix} X & 0 & ... & 0 & -{ a }_{ 0 } \\ -1 & ... & 0 & ... & -{ a }_{ 1 } \\ 0 & ... & ... & 0 & ... \\ ... & 0 & ... & X & ... \\ 0 & ... & 0 & -1 & X-{ a }_{ n-1 } \end{pmatrix}

Behauptung:

det(X{ I }_{ n }-A)={ X }^{ n }-\sum _{ i=0 }^{ n-1 }{ { a }_{ i }{ X }^{ i } }

Beweis: Per Induktion nach n:

I.A.: n=1: det(XI₁-A₁)=X-a₀=X¹-Summe(i=0, 0, a_iXⁱ) wahr.

I.S.: n->n+1

Es gilt

det(X{ I }_{ n+1 }-{ A }_{ n+1 }=det\begin{pmatrix} X & 0 & ... & 0 & -{ a }_{ 0 } \\ -1 & ... & 0 & ... & -{ a }_{ 1 } \\ 0 & ... & ... & 0 & ... \\ ... & 0 & ... & X & -{ a }_{ n-1 } \\ 0 & ... & 0 & -1 & X-{ a }_{ n } \end{pmatrix}€{ M }_{ n+1 }(K)\\ Entwicklung\quad nach\quad der\quad 1.\quad Zeile\\ =X*{ (-1) }^{ n+1 }*det\begin{pmatrix} X & 0 & ... & 0 & -{ a }_{ 1 } \\ -1 & ... & 0 & ... & -{ a }_{ 2 } \\ 0 & ... & ... & 0 & ... \\ ... & 0 & ... & X & ... \\ 0 & ... & 0 & -1 & X-{ a }_{ n } \end{pmatrix}+{ ({ -a }_{ 0 } })*{ (-1) }^{ n+1+1 }*det\begin{pmatrix} -1 & X & ... & 0 & 0 \\ 0 & ... & ... & ... & 0 \\ 0 & ... & ... & ... & ... \\ ... & 0 & ... & -1 & X \\ 0 & ... & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\\ =X*det\begin{pmatrix} X & 0 & ... & 0 & -{ a }_{ 1 } \\ -1 & ... & 0 & ... & -{ a }_{ 2 } \\ 0 & ... & ... & 0 & ... \\ ... & 0 & ... & X & ... \\ 0 & ... & 0 & -1 & X-{ a }_{ n } \end{pmatrix}+{ (-1) }^{ n+3 }*{ a }_{ 0 }*{ (-1) }^{ n }\\ Nach\quad InduktionsVorausetzung:\\ =X({ X }^{ n }-\sum _{ i=0 }^{ n-1 }{ { a }_{ i+1 }{ X }^{ i } } )+{ (-1) }^{ 2n+3 }*{ a }_{ 0 }\\ ={ X }^{ n+1 }-\sum _{ i=0 }^{ n-1 }{ { a }_{ i+1 }{ X }^{ i+1 } } -{ a }_{ 0 }\\ ={ X }^{ n+1 }-\sum _{ i=1 }^{ n }{ { a }_{ i }{ X }^{ i } } -{ a }_{ 0 }\\ ={ X }^{ n+1 }-\sum _{ i=0 }^{ n }{ { a }_{ i }{ X }^{ i } }