Sei A € M_n(K) mit n >= 1 so, dass es eine Matrix B M_n(K) gibt mit AB - BA = A. Bestimmen Sie det(A).

Question

wie im Titel erwähnt lautet die Aufgabe:

Sei A € M_n(K) mit n >= 1 so, dass es eine Matrix B  M_n(K) gibt mit AB - BA = A. Bestimmen Sie det(A).

 

Ich weiß absolut nicht, wie ich diese Aufgabe lösen soll und es wäre schön, wenn sie mir jemand vorrechnen kann oder zumindest den Weg erklärt :)

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Nachtrag: Wir haben den Tip bekommen haben die 2.) von dieser Aufgabe zu verwenden: Sei A = (ai,j ) ∈ Mn(K) eine Matrix. Man definiert Tr(A):=a1,1 + · · · + an,n.

 In der erwähnten Aufgabe 2 steht: Die Spur von AB ist auch die Spur von BA

Comments

Ich hätte vielleicht noch erwähnen sollen, dass wir den Tip bekommen haben die 2.) von dieser Aufgabe zu verwenden:

https://www.mathelounge.de/9012/sei-a-ai-j-%E2%88%88-mn-k-eine-matrix-man-definiert-tr-a-a1-1-%C2%B7-%C2%B7-%C2%B7-an-n

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In der erwähnten Aufgabe 2 steht: Die Spur von AB ist auch die Spur von BA

Formal: Tr(AB) = Tr(BA)

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Richtig und das sollen wir verwenden bzw. in diese Richtung denken. Ich weiß aber nicht, wie mir das weiterhelfen soll :/

Answer 1

Vieleicht ein Anfang? (Aber: Ich komme aber in Fall 2 zu keiner Aussage über Det(A) für beliebige n)

AB - BA = A      |     EA = A und + BA

AB = EA + BA

AB = (E+B)A                    Determinantenmult. Satz

Det(A) * Det(B) = Det(E+B)* Det(A)

1. Fall: Det (A) = 0

Wenn Det(A) = 0 ist, muss B keine spezielle Bedingung erfüllen. n kann bis hier noch beliebig sein.

2. Fall      Det (A)≠0  (Beliebig)

Ist heikler. Jetzt muss Det(B) = Det(E+B) sein. 

Ich hab mal geschaut, was bei n=3 passiert. Und gewählt:

B=  

   a b c

( d e f )

  g h i

 

B+E=  

   a+1   b   c

( d    e+1   f )

  g      h     i+1

Jetzt hab ich für beide formal die Determinante ausgerechnet und gleichgesetzt. Danach 0 auf eine Seite gebracht.

Es resultiert:

0 = gc + hf + db - ( ae + ai + ei + a + e + i + 1)

Dh. in B ist die Summe von symmetrisch zur Diagonalen liegenden Elementen ist gleich der Summe aller Kombinationen von Produkten der Länge 0 bis 3-1=2 von Diagonalelementen.  

Wenn das so ist, kann Det(A) einen beliebigen reellen Wert annehmen.

 

Comments

Hmm, also soweit komme ich nicht. Bei mir hackt es schon am Anfang. Nicht zu jeder X beliebigen Matrix A gibt es eine Matrix B mit BA - AB = A oder?

Kann mir da schon nix drunter vorstellen und bin nur am rumprobieren

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Ich verstehe es auch nicht...

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geht davon aus das A invertierbar ist(also det A ≠ 0) nun ein bisschen umformen und ausklammern, dann den trace nehmen da er kommutativ ist und gucken was raus kommt. hier wird ein Widerspruch entstehen und daher ist det A = 0.

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kannst du mir vielleicht noch einen tip geben, was ich ausklammern und umformen soll? :) oder die lösung in kurzform? würdest mir damit sehr helfen :)

aber schonmal vielen dank

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AB = A - BA AB = (In + B) A Da ich das ganze vom Handy mache ist C das inverse von A ABC = (In +B)AC = In +B Tr (ABC) = Tr (In+B)= Tr (ACB) = TR (B) Tr In + Tr (B) = Tr (B) Tr (B)= 0 Wid also A nicht invertierbar det = 0

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@Anonym: Wenn du eine Antwort, statt einen Kommentar eingibst, bekommst du Punkte, und deine Kollegen finden deine Rechnung einfacher.

Etwas übersichtlicher die Antwort von Anonym

AB = A - BA

AB = (In + B) A

Da ich das ganze vom Handy mache ist C das inverse von A

ABC = (In +B)AC = In +B

Tr (ABC) = Tr (In+B)= Tr (ACB) = TR (B)

Tr In + Tr (B) = Tr (B)

Tr (B)= 0

Wird also A nicht invertierbar det = 0

Ich hätte hier noch eine Frage zum letzten Schritt

Tr(In) + Tr(B) = Tr(B) heisst doch

n + Tr(B) = Tr(B)         |Tr(B) = 0 Hilft hier nichts.

n=0 ist ein Widerspruch zur Vor. n≠0

Also Det(A)≠0 führt bei dir auf einen Widerspruch.