Spurfreie Matrizen: Zeigen, dass AB - BA € V

Question

Sei der Untervektorraum \( V=\left(\begin{array}{l}a b \\ c d\end{array}\right) \in C^{2 x 2} I a+d=0 \)

von C^{2x2} gegeben sowie

\( \mathrm{H}=\left(\begin{array}{c}0-i \\ i+0\end{array}\right), \mathrm{X}=1 / 2\left(\begin{array}{c}1-i \\ -i-1\end{array}\right) \) und \( \mathrm{Y}=1 / 2\left(\begin{array}{c}1-i \\ -i-1\end{array}\right) \)

(a) Zeigen Sie, dass AB - BA € V für alle A,B € C^(2x2) gilt.

(b) Zeigen Sie, dass S: H, X, Y eine Basis von V ist. Bestimmen Sie S\( \begin{pmatrix} 0\ 1\\0\ 0 \end{pmatrix} \) und S\( \begin{pmatrix} 0\ 0\\1\ 0\end{pmatrix} \).

Answer 1

a+d = 0 bedeutet, dass die Elemente von V alle so aussehen

\( \begin{pmatrix} a  , \   b\\  c ,\ -a\\ \end{pmatrix} \)

Und wenn du zwei davon hast, etwa A und B dann

\(A= \begin{pmatrix} a  , \   b\\  c ,\ -a\\ \end{pmatrix} \) \(B= \begin{pmatrix} x   ,\   y\\  z ,\ -x\\ \end{pmatrix} \)

Dann ist

\(A*B= \begin{pmatrix} ax+bz  , \   ay-bx\\  cx-az ,\ ax+cy\\ \end{pmatrix} \)  und

\(B*A= \begin{pmatrix} ax+cy ,\   -ay+bx\\ -cx+az  , \   ax+bz\\ \end{pmatrix} \)

also ist die Differenz

\(A*B-B*A= \begin{pmatrix} bz-cy ,\   ………..\\ ………...  ,\   cy-bz\\ \end{pmatrix} \)

also Element von V.

An der Darstellung \( \begin{pmatrix} a  , \   b\\  c ,\ -a\\ \end{pmatrix} \) sieht man schon,

dass V 3-dimensional ist mit einer Basis

\( \begin{pmatrix} 1  , \   0\\  0 ,\ -1\\ \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 0  , \   1\\  0 ,\ 0\\ \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 0  , \   0\\  1 ,\ 0\\ \end{pmatrix} \)   Also hat jede Basis 3 Elemente, musst also nur zeigen,

dass die gegebenen 3 auch lin. unabh. sind.