Zeige: Es gibt keine Matrizen mit AB-BA=E. Tipp: Spur benutzen

Question

Sei \( n \in \mathbb{N} . \) Zeigen Sie: Es gibt keine Matrizen \( A, B \in M_{n}(\mathbb{R}) \) mit \( A B-B A=E \)
Hinweis: Benutzen Sie dabei die Spur von Matrizen, die wie folgt definiert ist: \( \operatorname{tr}(A)= \) \( \sum \limits_{i=1}^{n} a_{i, i} \)

Wie zeigt man das ? Bräuchte Hilfe.

Danke.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Beweisen Sie, dass die Ungleichung AB − BA ≠ En für alle A, B ∈ M(n, n, R) gilt.

Stichworte: ungleichungen,beweis

Beweisen Sie, dass die Ungleichung AB − BA ≠ En für alle A, B ∈ M(n, n, R) gilt.

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Gleiche Frage hier: https://www.mathelounge.de/229877/zeige-es-gibt-keine-matrizen-mit-ab-ba-e-tipp-spur-benutzen.

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Vom Duplikat:

Titel: Beweisen Sie, dass die Ungleichung AB − BA ̸= En für alle A, B ∈ M(n, n, R) gilt

Stichworte: matrix,umkehrung,relation,identität

Beweisen Sie, dass die Ungleichung AB − BA ≠ En für alle A, B ∈ M(n, n, R) gilt.

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Hast du das nicht schon einmal gefragt?

https://www.mathelounge.de/229877/zeige-es-gibt-keine-matrizen-mit-ab-ba-e-tipp-spur-benutzen

Answer 1

weil AB und BA in der Hauptdiagonale die
gleichen Elemente haben ( der Rest kann durchaus
verschieden sein) hat AB - BA in der Hauptdiagonalen
lauter Nullen, also die Spur 0.
aber es ist tr(E)=n , weil E in der Hauptdiag.
alles 1en hat.
also musst immer E ungleich AB - BA sein.

Comments

Danke erstmal mathef für die Antwort, jedoch versteh ich nicht, warum AB und Ba die gleichen Elemnte in der Hauptdiagonale haben :/ ??



Gruß 

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Bei genauerem Nachdenken sehe ich, dass ich da was verwechselt habe
mit den Zeilen und Spalten. Ist wohl doch nicht ganz so einfach.

Answer 2

Rechne nach, dass \(\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)\) gilt. Es ist also \(\operatorname{tr}(AB-BA)=0\) aber \(\operatorname{tr}(E)=n\).