Zeigen, dass für zwei Matrizen das gleiche bezüglich der Spurt gilt.

Question

Sei A = (a_ij)_i,j ∈ R^p×p eine Matrix über einem kommutativen Ring R. Die Spur tr(A) einer Matrix ist definiert als die Summe der Diagonaleinträge, d.h. tr(A) := ∑^p_i=1 a_ii. Die transponierte Matrix A^T von A ist als A^T_i,j = A_i,j definiert. Außerdem gilt tr(A^T) = tr(A).

Zeige, dass für die Matrizen A ∈ R^p×q und B ∈ R^q×p gilt: tr(A·B) = tr(B·A).

Hey ihr lieben, diese Aufgabe beschäftigt mich jetzt schon seit Stunden und ich komme nicht vorran. Kann mir jemand zeigen, wie man sie löst?

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Hi. Diese Aufgabe versuche ich auch gerade zu lösen. Bist du weiter gekommen?

Answer 1

Das Element c_k,k des Produktes A*B ist

$${c}_{k,k}= \sum_{n=1}^{q}{{a}_{k,n}*{b}_{n,k}} $$

Bei B*A ist es entsprechend 

$${d}_{i,i}= \sum_{m=1}^{p}{{b}_{i,m}*{a}_{m,i}} $$

Also gilt für die Spuren

$$tr(A*B)= \sum_{k=1}^{p}{c}_{k,k}$$
$$= \sum_{k=1}^{p}{ \sum_{n=1}^{q}{{a}_{k,n}*{b}_{n,k}} }$$

und 

$$tr(B*A)= \sum_{i=1}^{q}{d}_{i,i}$$
$$= \sum_{i=1}^{q}{ \sum_{m=1}^{p}{{b}_{i,m}*{a}_{m,i}}  }$$

$$= \sum_{i=1}^{q}{ \sum_{m=1}^{p}{{a}_{m,i}}*{b}_{i,m} }$$

Jetzt noch die Reihenfolge der Summation vertauschen und

es ist fertig.

Answer 2

setze \(X=A\cdot B\) und \(Y=B\cdot A\).
Nach Definition der Matrixmultiplikation gilt für die Diagonalelemente$$x_{ii}=\sum_{k=1}^qa_{ik}b_{ki},\,i=1,\dots,p\quad\text{sowie}\quad y_{kk}=\sum_{i=1}^pb_{ki}a_{ik},\,k=1,\dots,q.$$Nach Definition der Spur gilt$$\operatorname{tr}(X)=\sum_{i=1}^px_{ii}=\sum_{i=1}^p\sum_{k=1}^qa_{ik}b_{ki}=\sum_{k=1}^q\sum_{i=1}^pb_{ki}a_{ik}=\sum_{k=1}^qy_{kk}=\operatorname{tr}(Y).$$Daraus folgt die Behauptung.

MfG

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Danke nn <3, deine Antwort hat mir sehr geholfen. Leider hat es nicht ganz funktioniert mehrere Antworten als beste auszuwählen... : /

Answer 3

Seien M = (m_ij), A = (a_ij), B = (b_ij) Matrizen mit M = A·B, dann ist m_ij = ∑_k=1..p a_ikb_kj für alle i,j=1..p. Insbesondere ist

        m_ii = ∑_k=1..p a_ikb_ki für alle i =1..p.

Also ist tr(A·B) = ∑_i=1..p∑_k=1..p a_ikb_ki.

Analog dazu ist tr(B·A) = ∑_i=1..p∑_k=1..p b_ika_ki.

Zeige dass ∑_i=1..p∑_k=1..p a_ikb_ki = ∑_i=1..p∑_k=1..p b_ika_ki ist.