Sei A = (ai,j ) ∈ Mn(K) eine Matrix. Man definiert Tr(A):=a1,1 + · · · + an,n.

Question

Sei A = (a_i,j) ∈ M_n(K) eine Matrix. Man definiert Tr : M_n(K) → K durch

Tr (A) =  Σa_k,k (von k=1 bis n) 

Also:

Tr(A)   =a_1,1 + · · · + a_n,n.

1. Zeigen Sie, dass Tr ∈ M_n(K)^∨.

2. Zeigen Sie, dass Tr(AB) = Tr(BA).

 

Matrizen halt. Über einen Lösungsweg samt kleiner Erklärung würde ich mich freuen!

Comments

Wie genau sieht 'hoch k=1' in aus? 

Tr (A) = n über Σa_k,k hoch k=1  = a_1,1 + · · · + a_n,n.

(Ich kann das später auch löschen)

Kannst du ev. beschreiben, wie der Term aussieht?

 

'über' wie bei einem Bruch?

Vermute, dass es sich bei Tr und Trace handelt; also Spur einer Matrix.

Warte nun noch auf Präzision zum genauen Aussehen dieser Definition im Kommentar.

 

 

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Der Term sieht so aus

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Tr ist die transponierte Matrix mitgemeint: Ist das Trace was du meinst?!

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Das ist hier sicher nicht die transponierte Matrix. Hier werden ja nur die Elemente in der Diagonalen addiert.

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Hast du für die Aufgabe denn vielleicht eine Lösung parat?

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M_n (K)^V ist doch die duale Abbildung von A, und die duale Abbildung ist die transponierte Matrix. Dabei wird ja an der diagonalen gespiegelt. Man muss doch jetzt "nur" zeigen das die Elemente die selben sind , also a_1,1 ...a_n,n = (a_1,1 ...a_n,n )^V  oder lieg ich falsch?

Answer 1

Hier mein Lösungsvorschlag:

 

erstmal die 2)

Zu zeigen:

Tr(AB)=Tr(BA)      Tr(A) * Tr(B) = ∑a_kk  *  ∑b_kk    = ∑ a_kk * b_kk  = a₁₁ * b₁₁ + a₂₂ * b₂₂ + ..... + a_nn * b_nn = b₁₁ * a₁₁  + b₂₂ * a₂₂   + ..... + b_nn   * a_nn =  ∑ b_kk  * a_kk = Tr(BA)

 

1)

Wir müssen zeigen, dass Tr ∈ Mn(K)^V ist.  Bei Mn(K)^V handelt es sich um eine duale Abbildung, d. h. es gibt eine transponierte Matrix A^T = (a_j,i )   (   A = (a_i,j )  )
Zudemhandelt es sich um eine quadratische Gleichung, wehalb 1≤ i ≤ n und 1≤ j≤ n ist.

Darausfolgt:

Tr(A) =   = a₁₁ + a₂₂ + ..... + a_nn = a₁₁ + a₂₂ + ...... + a_nn = ∑a_kk  = Tr(A^T )    Also Tr ∈ Mn(K)^V

 

 

Comments

Sieht super aus. Aber:

Darfst du denn im Schritt

 ∑a_kk  *  ∑b_kk    = ∑ a_kk * b_kk  einfach die Doppelprodukte weglassen?

Ändert vermutlich nicht viel. Irgendwann darf man dann einfach die Reihenfolge von a und b vertauschen.

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Also hatte nach Rechenregeln für Summenzeichen nachgeschaut, und dann steht da, wenn das was über und unter dem Summenzeichen steht identisch ist mit dem anderen Summenzeichen dann darf man , in unserem fall, b_kk reinziehen.

wenn du das mit doppelprodukte meinst?

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Vielleicht sollte man die besser Mischprodukte nennen.

sagen wir n=2

(a11 + a22)(b11 + b22) = a11b11 + a11b22 + a22b11+a22b22

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Das Mischprodukt kommt ja gar nicht zu stande da hier nur gezeigt werden muss, dass Tr(AB) = Tr(BA) ist.

Es wird nichts über Tr(A)*Tr(B) ausgesagt.

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https://de.wikipedia.org/wiki/Summe

unter Klammerkonventionen und Rechenregeln steht es gilt keine Gleichheit

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@Anonym. Hast du denn mit (a_ijb_kl und Summen) berechnet, was in der Diagonalen von AB und BA steht? Und danach die beiden Spuren verglichen?