Sei A, B, C ∈ Mn(R). Zeigen Sie (b) Spur(A · B · C) = Spur(B · C · A) = Spur(C · A · B), aber ?

Question

Sei A, B, C ∈ Mn(R). Zeigen Sie:
(a) Spur(A · B) = Spur(B · A).
(b) Spur(A · B · C) = Spur(B · C · A) = Spur(C · A · B), aber es gibt Matrizen aus M₂(R) mit
Spur(A · B · C) ≠ Spur(A · C · B).

A.) Habe ich gelöst. Könnte mir einer bei b helfen?

Answer 1

Für b) musst du nur a) anwenden.

a) Könnte man ja auch so formulieren
Spur(X · Y) = Spur(Y · X)

Und jetzt wende mit x=AB und Y=C

Dann bekommst du gleich

Spur(A · B · C)  = Spur(C · A · B).

und entsprechend auch die andere Gleichheit.

Und ein Gegenbeispiel findest du mit etwas Probieren:

A=

1 1
1 1

und

B=

0 2
1 1

C=

1 5
3 0

Da haben die beiden Produkte einmal

Spur=15 und das andere Spur=18