\(F\) ist stetig in \((M_n(\mathbb{R}),||\cdot ||_\infty)\), wobei \(||\cdot ||_\infty\) die Zeilensummennorm ist. Sei also \(A\in M_n(\mathbb{R})\), dann gilt: $$||\operatorname{spur}(A)||_{\text{op}}=\sup \left \{\frac{||\operatorname{spur}(A)||_2}{||A||_\infty} \, ; \, A\neq 0\right \}=\sup\limits_{||A||_\infty =1}||\operatorname{spur}(A)||_2\leq n$$ Hierbei ist \(||\cdot ||_{\text{op}}\) die Operator-Norm, eine Art größter Streckungsfaktor der linearen Abbildung \(F\). Es lässt sich zeigen, dass lineare Abbildung in normierten \(K\)-Vektorräumen stetig (und sogar gleichmäßig stetig sind), wenn \(||F||_{op}<\infty\).
Tipp: Immer, wenn es um Operatoren (hier den Spur-Operator) geht, kannst du die Operatornorm zumindestens im Hinterkopf behalten.
