Aufgabe:
Skizze der Menge alles komplexen Zahlen z angeben, so dass |z-3-4i| <= 5 erfüllt ist.
Ansatz:
mit z = a + bi
$$ |z - 3 - 4i| \leq 5 \Leftrightarrow |a+bi-3-4i| \leq 5 \Leftrightarrow |a-3+bi-4i| \leq 5 \Leftrightarrow \sqrt{(a-3)^2+(b-4)^2} \leq 5 \Leftrightarrow (a-3)^2+(b-4)^2 \leq 25 \Leftrightarrow (a^2-6a+9) + (b^2-8b+16) \leq 25 \Leftrightarrow a^2 - 6a + b^2 - 8b \leq 0 \Leftrightarrow a^2 + b^2 \leq 6a + 8b $$
Problem:
Ich sehe zwar durchaus, dass ich jetzt für a und b bestimmte Werte festlegen kann und dann direkt für a oder b ein bestimmter Wert folgen muss, jedoch ist mir unklar, wie ich hier eine konsistente Menge für z aufstellen kann bzw. wie ich alle Werte für a und b systematisch bestimmen kann.
Davon auszugehen, dass $$a^2 \leq 6a \land b^2 \leq 8b$$ zugleich erfüllt sein müssen ist wohl etwas zu einfach, weil ich dann gemische Zahlenpaare nicht betrachte.
Gibt es hier einen geschickteren Ansatz die Aufgabe anzugehen oder habe ich irgendwo einen Denkfehler?