Komplexe Zahlen. Real- und Imaginärteil und Betrag von z berechnen? Bsp. 1) z= (1+2i) / (3-4i)

Question

ich muss den Real und den Imaginärteil sowie auch den Betrag ( IzI=√zz‾  ) von folgenden komplexen Zahlen berechen.

Wie berechne ich dies?

Danke für die Hilfe im Voraus. 

1) z= (1+2i) / (3-4i)

2) z= (i-1)⁴+(-1-i)⁴

³⁾                 ______

            z=( 2/(1-i))‾

4) zwei Nullstelen z₁ und z₂ von q(z)=z²+4

Die Hilfe ist so ziemlich .!!

Answer 1

bei 1) und 2)  und 3)  kannst du  z  auf die Form   z = a + b • i  bringen, dann ist  a der Realteil  und  b der Imaginärteil von z.

| z |  ergibt sich dann aus √( a² + b²).

1)   

\(\frac{1 + 2i}{3 - 4i}\) = \(\frac{(1 + 2i) · (3 +4i)}{(3 - 4i) · (3 + 4i)}\)  = \(\frac{-5 + 10i }{9 + 16 }\) = \(\frac{5 · (-1 + 2i)}{25}\) = \(\frac{-1 + 2i}{5}\)  

= -1/5 + 2/5 • i   →  a = -1/5 und b = 2/5

Rest wie oben beschrieben

2) 

(1 - i)⁴ + (-1 - i)⁴ = (1 - i)⁴ + ((-1) (1 + i))⁴ = (1 - i)² • (1 - i)² + (1 + i)² • (1 + i)² 

= -2i • (-2i) + 2i • 2i = -4 + (- 4) = -8 →  a = -8  und  b = 0

Rest wie oben

3) 

Bruch  analog zu 1)  , dann bei b das Vorzeichen ändern

4)

z² + 4 = 0  ⇔  z² = - 4  ⇔  (a + bi)² = -4  ⇔  a² + 2abi - b² = -4

→  a² - b² = -4  und  2ab = 0

b kann nicht 0 sein wegen a² ≠ -4

→  a = 0  mit b = ± 2   →  z₁ = 2i  , z₂ = -2i

Gruß Wolfgang