Zeigen, dass Spur(B) = -an-1 und a0 = (-1)n * det(B) gilt.

Question

Aufgabe:

Hey Leute, ich kann folgende Aufgabe nicht lösen und hoffe Ihr könnt mir helfen.

Wir haben n∈ℕ und einen Körper K. Zudem sei B ∈ K^nxn mit dem charakteristischen Polynom p(X) = a₀*X⁰ + a₁X¹ + ... + a_nXⁿ.

Nun soll ich zeigen, dass Spur(B) = -a_n-1 und a₀ = (-1)ⁿ * det(B) gilt.

Ich freue mich über jede Hilfe. Danke.

Comments

\(p(X)=\det(XI_n-B)\implies p(0)=\det(-B)\implies a_0=(-1)^n\cdot\det B\).

Answer 1

Es gilt

\(\begin{aligned} p(x)=\operatorname{det}(\mathbf{B}-x \mathbf{I})=\sum \limits_{\sigma \in S_{n}} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod \limits_{i=1}^{n}(\mathbf{B}-x \mathbf{I})_{i, \sigma(i)} .\end{aligned} \)
Da wir uns nur für den Koeffizienten von \( x^{n-1} \) interessieren, werde ich die Koeffizientenextraktionsoperation mit \( \left[x^{n-1}\right] \) bezeichnen. Weiterhin müssen wir nur die Identitätspermutation betrachten, da für alle anderen \( \sigma \in S_{n} \) gilt
\( |\{i \in[n] \mid \sigma(i)=i\}| \leqslant n-2 . \)
Es ergibt sich
\( \begin{aligned} {\left[x^{n-1}\right] p(x) } &=\left[x^{n-1}\right] \prod \limits_{i=1}^{n}\left((\mathbf{B})_{i, i}-x\right) \\ &=(-1)^{n-1} \sum \limits_{i=1}^{n}(\mathbf{B})_{i, i}=(-1)^{n-1} \operatorname{tr}(\mathbf{B}) \end{aligned} \)

Das zweite wurde ja schon in den Kommentaren beantwortet.