Bei f4 kann man die Linearität so überprüfen:
p = a2x^2 + a1x + a0, q = b2x^2 + b1x + b0 zwei Polynome vom Grad 2.
f4(kp + mq)=? muss überprüft werden. k,m lineare Faktoren.
|einsetzen
f4 ( k*(a2x^2 + a1x + a0) + m*(b2x^2 + b1x + b0) = f4((ka2+mb2)x^2 + (ka1 + mb1)x + ka0 + mb0)
= ( ka2 + mb2 - ka1 - mb1 , ka1 + mb1 - ka2-mb2 , 2ka0 + 2mb0)
= k(a2 -a1 , a1-a2, 2a0) + m(b2-b1, b1 - b2, 2b0)
= k *f4(a2x^2 + a1x + a0) + m *f4(b2x^2 + b1x + b0)
Also f4 (kp + mq) = k f4(p) + m f4(q) q.e.d.
Kern? f4(p) =0
p = a2x^2 + a1x + a0
f4(p) = (a2-a1, a1-a2, a0) = (0 , 0 , 0)
Also a0 = 0 und a1 =a2.
Kern 2-dim Polynome vom Grad 2 der Form: r = a(x^2 + x) a Element IR (eindim)
Bildraum?
f4(p) = (a2-a1, a1-a2, a0) = ( x , - x, beliebig)
Beispiele für Bildvektoren
(0,0,0), (1, -1, 0), (1,-1, 3), (2,-2,7) …
Ebene mit der Koordinatengleichung x + y =0. Also 2-dimensionale Ebene parallel zur z-Achse und durch (0,0,0).
Bildraum hat die Dimension 2.