Zeige, dass B eine Basis des Vektorraums ℝ_2[x] = {a2x2 + a1x + a0 : a0, a1, a2 ∈ ℝ} ist

Question

Gegeben sei B = {1, x²,(x − 2)(x − 1)}.

Zeige, dass B eine Basis des Vektorraums

ℝ₂[x] = {a₂x² + a₁x + a₀ : a₀, a₁, a₂ ∈ ℝ}

ist.

Answer 1

a*1 + b* x² + c*(x-2)(x-1) = 0 darf nur die triviale Lösung haben.

a+bx²+cx² -3cx +2c = 0

x² (b+c) + x (-3c) + (a+2c) = 0

b+c=0, -3c=0, a+2c=0

⇒a=b=c=0

Comments

Hallo Helmus, ;)

Wenn ich jetzt noch p(x) = x2+x+1 in dieser Basis darstellen soll, wäre es dann so möglich?

x² (b+c) + x (-3c) + (a+2c) = x²+x+1

daraus ergibt sich für a=5/3, b= 4/3 und c=-1/3

also:

\( \begin{pmatrix} 5/3\\4/3\\-1/3 \end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} 1\\x^2\\(x-2)(x-1) \end{pmatrix} \) = x² +x +1

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........................................Stimmt!