Linearität, Bestimmung des Rangs, Kerns. Bsp. f4: V2-->R^3 mit a2x^2 + a1x + a0 -->(a2-a1 , a1- a2, 2a0)

Question

Welche der folgenden Abbildungen sind linear?

Bestimme ,wenn möglich, deren Kern und Rang





f1:R^3-->R mit(x,y,z)-->2x +7y

f2: R-->R mit x-->x^2

f4: V2-->R^3 mit a2x^2 + a1x + a0 -->(a2-a1 , a1- a2, 2a0)

Comments

f1(ax,ay,az)=2ax+7ay=a(2x+7y)=af1(x,y,z), f1 ist linear.
Kern: 0=f1(0,0,z)∈Ker(f), also beispielsweise 0=f1(0,0,1)∈Ker(f).

f2(ax)=(ax)^2≠ax^2=af2(x), f2 ist also nicht linear.

Answer 1

Bei f4 kann man die Linearität so überprüfen:

p = a2x^2 + a1x + a0, q = b2x^2 + b1x + b0   zwei Polynome vom Grad 2.

f4(kp + mq)=? muss überprüft werden. k,m lineare Faktoren.

        |einsetzen

f4 ( k*(a2x^2 + a1x + a0) + m*(b2x^2 + b1x + b0) = f4((ka2+mb2)x^2 + (ka1 + mb1)x + ka0 + mb0)

= ( ka2 + mb2 - ka1 - mb1 , ka1 + mb1 - ka2-mb2 , 2ka0 + 2mb0)

= k(a2 -a1 , a1-a2, 2a0) + m(b2-b1, b1 - b2, 2b0)

= k *f4(a2x^2 + a1x + a0) + m *f4(b2x^2 + b1x + b0)

Also f4 (kp + mq) = k f4(p) + m f4(q)          q.e.d.

 

Kern? f4(p) =0

p = a2x^2 + a1x + a0

f4(p) = (a2-a1, a1-a2, a0) = (0 , 0 , 0)

Also a0 = 0 und a1 =a2.

Kern 2-dim Polynome vom Grad 2 der Form:  r = a(x^2 + x)      a Element IR (eindim)

Bildraum?

f4(p) = (a2-a1, a1-a2, a0) = ( x , - x, beliebig)

Beispiele für Bildvektoren

(0,0,0), (1, -1, 0), (1,-1, 3), (2,-2,7) …

Ebene mit der Koordinatengleichung x + y =0. Also 2-dimensionale Ebene parallel zur z-Achse und durch (0,0,0).

Bildraum hat die Dimension 2.