Zeigen Sie, dass det(M)=(-1)^(n · m) det(A) det(B) ist.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Sei \( M \) eine \( (n+m) \times(n+m) \)-Matrix der Form \( \left(\left.\frac{0}{B} \right\rvert\, A\right) \) mit Matrizen \( A \in \operatorname{Mat}_{m \times m}(K) \), \( B \in \operatorname{Mat}_{n \times n}(K) \) und \( C \in \operatorname{Mat}_{n \times m}(K) \). Dabei bezeichnet 0 die 0-Matrix in \( \operatorname{Mat}_{m \times n}(K) \). Zeigen Sie, \( \operatorname{dass} \operatorname{det} M=(-1)^{n \cdot m} \operatorname{det} A \operatorname{det} B \) ist.

Problem/Ansatz:

Ich komm leider nicht drauf.

Answer 1

Wahrscheinlich soll es mit folgender Zerlegung gehen:

$$\begin{pmatrix} 0 & A \\ B & C \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & I \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & I \\ B & C \end{pmatrix}$$

Darauf wendet man den Determinanten-Multiplikationssatz an. Die einzelnen Determinanten kann berechnen durch Entwicklung nach den letzten Zeilen bzw. Spalten....