Zeigen Sie, dass det(M) = det(A) · det(B).

Question

Aufgabe:

Seien K ein Körper, r, s ∈ N und n = r + s. Weiterhin seien A ∈ Mat(r × r, K), B ∈Mat (s × s, K) und C ∈ Mat(r × s, K), sowie O ∈ Mat(s × r, K) die Nullmatrix und M ∈ Mat(n × n, K) mit

M =(A C
      O B)

Problem/Ansatz:

Zeigen Sie, dass det(M) = det(A) · det(B).

Answer 1

Hallo,

\(E_r\) sei die \(r\times r\) Einheitsmatrix, analog \(E_s\). Dann gilt die Zerlegung:$$\begin{pmatrix} A & C \\ O & B\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} E_s & O \\ O & B \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A & C \\ O & E_r \end{pmatrix}$$Weiter gilt mit dem Determinantenmultiplikationssatz und der Entwicklung nach der ersten Spalte:$$\begin{aligned} \det\begin{pmatrix} A & C \\ O & B\end{pmatrix}=\det\left(\begin{pmatrix} E_s & O \\ O & B \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A & C \\ O & E_r \end{pmatrix}\right)&=\det \begin{pmatrix} E_s & O \\ O & B \end{pmatrix}\cdot \det \begin{pmatrix} A & C \\ O & E_r \end{pmatrix} \\ &=\det(B)\cdot \det(A)\end{aligned}$$