Aloha :)
Deine Überlegung, den Term für die Ebene gleich dem Term für die Gerade zu setzen, funktioniert zur Berechnung des Schnittpunktes:$$\begin{pmatrix}-19\\-15\\-2\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}4\\2\\2\end{pmatrix}+\rho\begin{pmatrix}3\\1\\-5\end{pmatrix}\stackrel!=\begin{pmatrix}0\\0\\-3\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}-4\\1\\-4\end{pmatrix}$$Diese Vektorgleichung formst du dann etwas um:
$$\mu\begin{pmatrix}4\\2\\2\end{pmatrix}+\rho\begin{pmatrix}3\\1\\-5\end{pmatrix}-\lambda\begin{pmatrix}-4\\1\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-19\\-15\\-2\end{pmatrix}$$$$\mu\begin{pmatrix}4\\2\\2\end{pmatrix}+\rho\begin{pmatrix}3\\1\\-5\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}4\\-1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}19\\15\\-1\end{pmatrix}$$
und kannst sie dann mit dem Gauß-Verfahren lösen:$$\begin{array}{rrr|r|l}\mu & \rho & \lambda & = & \text{Aktion}\\\hline4 & 3 & 4 & 19 & -2\cdot\text{Zeile 2}\\2 & 1 & -1 & 15 &\\2 & -5 & 4 & -1 &-\text{Zeile 2}\\\hline0 & 1 & 6 & -11 &\\2 & 1 & -1 & 15 &-\text{Zeile 1}\\0 & -6 & 5 & -16 &+6\cdot\text{Zeile 1}\\\hline0 & 1 & 6 & -11 &\\2 & 0 & -7 & 26 &\\0 & 0 & 41 & -82 & \div41\\\hline0 & 1 & 6 & -11 &-6\cdot\text{Zeile 3}\\2 & 0 & -7 & 26 &+7\cdot\text{Zeile 3}\\0 & 0 & 1 & -2 &\\\hline0 & 1 & 0 & 1\\2 & 0 & 0 & 12 &\div2\\0 & 0 & 1 & -2\\\hline0 & 1 & 0 & 1\\1 & 0 & 0 & 6 &\\0 & 0 & 1 & -2\end{array}$$
Am einfachsten setzt du nun \(\lambda=-2\) in die Geradengleichung ein und erhältst als Schnittpunkt von Ebene und Gerade \(\pink{S(8|-2|5)}\).
Die Probe durch Einsetzen von \(\mu=6\) und \(\rho=1\) in die Ebenengleichung liefert denselben Punkt.
