Konvergiert die Reihe der Inversen der natürlichen Zahlen, die keine 7 in der Dezimaldarstellung haben?

Question

Es sei an die Folge aller natürlichen Zahlen, in deren Dezimaldarstellung keine 7 vorkommt, also (an) - 1,2,3,4,5,6,8,9,10,11,...,16,18,...,66,68,69,80,81,...

Beweisen oder widerlegen Sie, dass die Reihe $$\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { a _ { n } }$$ konvergiert.

Hinweis: Verwandeln Sie die Summe in eine Doppelsumme über die Anzahl k der Dezimalstellen einer Zahl und die damit in (an) vorkommenden Zahlen. Überlegen Sie zu gegebenem k, wie viele natürliche Zahlen mit k Dezimalstellen ungleich 7 es gibt. Wie groß ist eine Zahl mit k Stellen mindestens?

Comments

Wie weit bist du anhand des Hinweises denn schon gekommen?

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Mit dem Hinweis kann bzw. möchte ich nichts anfangen.

Die absolute Häufigkeit, dass eine n-stellige Zahl keine 7 besitzt, beträgt

- für 1-stellige Zahlen  8

- für 2-stellige Zahlen  (8*9)

- für 3-stellige Zahlen  (8*9*9)

- für 4-stellige Zahlen  (8*9*9*9)

usw.

Man kann nun für n-stellige Zahlen feststellen, dass sie kleiner als 10ⁿ sind und demzufolge Ihr Reziprokes größer als 10^-n ist. Der Summe aller Reziproken der Zahlen ohne Ziffer 7 lässt sich dadurch und mit den oben genannten Häufigkeiten nach oben abschätzen.Meine Intuition sagt mir, dass man damit wohl eine konvergente Majorante findet.

PS: Nachträglich finde ich in meinem Vorgehen Parallelen zu dem gegebenen Hinweis.