Große Summenzeichen berechnen

Question

$$\begin{aligned} \sum _ { k = 17 } ^ { 250 } ( 2 k - 1 ) & = 2 \cdot \sum _ { k = 17 } ^ { 250 } k - \sum _ { k = 1 } ^ { 250 } 1 = 2 \cdot \left( \sum _ { k = 1 } ^ { 250 } k - \sum _ { k = 1 } ^ { 16 } k \right) - ( 250 - 16 ) \\ & = 2 \cdot \left( \frac { 250 \cdot 251 } { 2 } - \frac { 16 \cdot 17 } { 2 } \right) - 234 = 62244 \end{aligned}$$

Das ist die Lösung zu der Aufgabe, gegeben ist noch die bekannte Summenformel

$$\sum _ { k = 1 } ^ { n } k = \frac { n ( n + 1 ) } { 2 }$$

Ich versteh nicht recht wieso nach dem zweiten Gleichheitszeichen der Endparameter des zweiten Summenzeichens nun 16 ist und weshalb anschließend 250-16 gerechnet wird

Ich hoffe auf einer einigermaßen verständlichen Erklärung :)

Answer 1

beachte, dass die Summe, die errechnet werden soll ihren Startwert bei k = 17 hat. Wenn Du also die Formel anwenden willst, die vorgegeben wurde, hast Du ein paar Glieder zu viel. Deshalb wird die Summe in zwei Teile aufgesplittet. Der eine Teil rechnet von k = 1 bis k = 250 um die Formel verwenden zu können. Um den Wert der ursprünglichen Summe zu erhalten müssen wir dann also alle Glieder bis k = 17 abziehen -> Das ist die Summe von k = 1 bis k = 16.

250 - 16 ist genau das gleiche. Hier wurde direkt gerechnet/eingesetzt mit der gleichen Begründung ;).

Grüße