Grenzwert dieses Terms berechnen

Question

ich soll den Grenzwert von (√(x+2) - 2 )/ (³√(x+6) - 2) berechnen. Kann mir bitte jemand dabei helfen ?

EDIT: Es geht um \(\lim\limits_{x\to2}\)

Comments

Stimmt die Aufgabe so ? Soll x gegen 0 oder ∞ gehen, oder gegen was ?

Answer 1

Ich denke du meinst \(\dfrac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt[3]{x+6}-2}\). Jetzt bleibt aber noch die Frage offen, zu welchem Wert dein x konvergieren soll.

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Mein x soll gegen den Wert 2 konvergieren

Answer 2

für x→0 ist der Grenzwert ≈3,2

für x→-2 ist der Grenzwert ≈4,8

für x→∞ ist der Grenzwert ∞

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Wie kann man den Grenzwert gegen unendlich hier zeigen?

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Zeige wann \(\sqrt[3]{x+6}-2 < \sqrt{x+2}-2\) gilt. Das gilt für alle \(\{x∈ℝ | x>2\}\).

Das heißt, dass der Term im Zähler schneller wächst, als derjenige, der im Nenner steht. Daraus folgt letztendlich das, was Roland skizziert hat.

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Für sehr große Zahlen x genügt die Betrachtung des Bruches √x/(x^1/3)=x^1/6.

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Danke euch beiden. Ich habs verstanden. :)

Noch eine Frage: Wie könnte man den Nenner rational machen?

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"Noch eine Frage: Wie könnte man den Nenner rational machen?"

Unter Nutzung der Beziehung

a³-b³=(a²+ab+b²)(a-b)

Wenn ein Nenner also die Form a-b hat, dann hat er nach dem Erweitern mit

(a²+ab+b²) die Form a³-b³, und damit bekommt man dritten Wurzeln aus dem Nenner.

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Danke, aber sehr angenehm ist das in diesem Fall wohl nicht. :)

Answer 3

Mein x soll gegen den Wert 2 konvergieren

verwende die Regel von L'Hospital:$$\lim\limits_{x\to2}\frac{\frac{\text{d}}{\text{dx}}\left(\sqrt{x+2}-2\right)}{\frac{\text{d}}{\text{dx}}\left(\sqrt[3]{x+6}-2\right)}$$$$\lim\limits_{x\to2}\frac{\frac{1}{2\sqrt{x+2}}}{\frac{1}{3\sqrt[3]{(x+6)^2}}}$$$$\lim\limits_{x\to2}\frac{3\sqrt[3]{(x+6)^2}}{2\sqrt{x+2}}$$$$=\frac{3\sqrt[3]{(2+6)^2}}{2\sqrt{2+2}}=3$$

Answer 4

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