Exponentialgleichungen mit Addition von Potenzen. 2*8^{-3x} +8^x=3

Question

Aufgabe: wer kann mir helfen bei der Lösung folgender Gleichung:

2*8^{-3x} +8^x=3

Wie addiert man solche Ausdrücke? Ich kenne das nur, wenn die Basis und der Exponent gleich ist. Hier ist aber auch noch der Faktor 2 da

Problem/Ansatz:

Answer 1

2*8^(-3x) +8^x=3

Substituiere z= 8^x dann hast du

2*z^(-3) + z = 3    | z^3

2 + z^4 = 3z^3

z^4 - 3z^3 + 2 = 0

und man rät leicht  z=1 ist ein Lösung.

und dann Polynomdivision durch (z-1).

Da bekomme ich dann allerdings eine Gleichung 3. Grades

zu der ich nur ungefähr die Lösung z=2,92 habe.

mit  8^x = 1  gibt es x=0

und 8^x = 2,92  gibt x = 0,515

Answer 2

Frag schon mal WolframAlpha

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2*8%5E(-3x)+%2B8%5Ex%3D3

und

Comments

Das scheint nicht sehr hilfreich zu sein, die offensichtliche Lösung x=0 wird unterschlagen...

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Im Graphen ist sie zu erahnen.

Wenn du im Link weiter unten schaust:

Mit x=0 geht WolframAlpha aber anscheinend auch noch über C.

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Vielen Danke für Ihre Hilfe! Das mit der Substitution habe ich ja soweit verstanden, möchte aber auch gern den Lösungsweg von "Lu" verstehen. Die Umwandlung der Basis 8 in die 2 ist mir auch gelungen. Mit der Basis 8 wäre das wohl nicht möglich gewesen? Und wie kommt man dann auf die Lösung von x = 0,51526 mit herkömmlichen Mitteln (z.B. ohne GTR)? Muss oder kann man die Gleichung logarithmieren?

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"Herkömmliche Methoden": Ich würde z.B. das Bisektional- oder das Newtonverfahren (Näherungsverfahren) empfehlen. Das sind numerisches Verfahren.

Wenn du unbedingt ohne numerische Verfahren arbeiten möchtest, mach das, was mathef vorschlägt. Substitution, Polynomdivision und dann ein Verfahren zum Lösen von kubischen Gleichungen.

Basis 8 ist von Hand eher einfacher als Basis 2.

Ich vermute allerdings, dass du deine Gleichung falsch abgeschrieben hattest, wenn du bisher keiner von diesen Methoden begegnet bist.