Integral: wie schreibt man für ein Integral die Integranden um?

Question

 

ich muss die Funktion (2x+2)/((x²+x)(x-1))  integrieren (also 2x+2 steht im Zähler (x²+x)(x-1) im Nenner),

und ich muss die Integranden umschreiben damit ich substituieren kann. Ich habe das im Onlineintegralrechner

überprüft, der hat mir auch den Rechenweg angezeigt, allerdings versteh ich nicht wie er die Integranden umgeschrieben hat, da stand dann: 

(2x+2)/((x²+x)(x-1)) = 2/(x-1) - 2/x            ...kann mir jemand erklären wie man darauf kommt?

 

Wäre sehr dankbar für Hilfe >.<

Answer 1

Du brauchst hier eine Partialbruchzerlegung. Dazu schreibt man sich die Funktion mit faktorisiertem Nenner auf

(2·x + 2)/((x^2 + x)·(x - 1)) = (2·x + 2)/(x·(x + 1)·(x - 1))

Jetzt macht man einen Ansatz der Partialbuchzerlegung über die Nullstellen des Nenners

(2·x + 2)/(x·(x + 1)·(x - 1)) = a/x + b/(x + 1) + c/(x - 1)

Ich multipliziere jetzt beide Seiten mit dem Hauptnenner

2·x + 2 = a·(x + 1)·(x - 1) + b·x·(x - 1) + c·x·(x + 1)

Du kannst jetzt hier jeweils die Nullstellen des Nenners für x einsetzen.

2·0 + 2 = a·(0 + 1)·(0 - 1) + b·0·(0 - 1) + c·0·(0 + 1)
a = -2

2·1 + 2 = a·(1 + 1)·(1 - 1) + b·1·(1 - 1) + c·1·(1 + 1)
c = 2

2·(-1) + 2 = a·(-1 + 1)·(-1 - 1) + b·(-1)·(-1 - 1) + c·(-1)·(-1 + 1)
b = 0

Daher lautet die Partialbruchzerlegung

(2·x + 2)/(x·(x + 1)·(x - 1)) = -2/x + 2/(x - 1)