Vollständige Induktion und eine andere Methode

Question

Hallo. Da ich mich bereits an Kommilitonen gewendet habe, und auch Sie mir nicht weiterhelfen können, wende ich mich an eure Hilfe.

wie gehe ich hier vor ?

Beweisen Sie die folgende Aussage mit zwei verschiedenen Darstellungen: 2 l n^2+n.
b) Beweisen Sie die Aussage aus a) mit vollständiger Induktion.

Answer 1

Beweisen Sie die folgende Aussage mit zwei verschiedenen Darstellungen: 2 l n^2+n.

2 | n^2+n = n*(n+1)

Von zwei aufeinander folgenden ganzen Zahlen ist immer eine durch 2 teilbar, also muss auch ihr Produkt durch 2 teilbar sein. Dies ist hier offensichtlich der Fall!

Answer 2

Hallo patlican68,

Das hatten wir hier bestimmt schon mal ... aber Suchen dauert zu lange!

Ich nehme an \(n \in \mathbb{N}\). Beginne mit \(n=1\) für den Induktionsanfang bzw. die Induktionsvoraussetzung: $$2 \mid 1^2 + 1 = 2$$ das passt. Nun der Übergang von \(n\) nach \(n+1\): $$\begin{aligned} (n+1)^2 + (n+1) &= n^2 + 2n + 1 + n + 1 \\ &= (n^2 + n) + 2(n+1)\end{aligned}$$ Nach Voraussetzung gilt \(2 \mid n^2 + n\) und offensichtlich gilt auch \(2\mid 2(n+1)\) folglich gilt: $$2 \mid (n^2+n) + 2(n+1) = (n+1)^2 + (n+1) \quad \text{q.e.d.}$$ Gruß Werner

Answer 3

nach Gauß gilt

n(n+1)=n^2+n=2* Summe (k=1 bis n) k

Damit folgt direkt die Teilbarkeit durch 2.

Alternativ:

Betrachte die Fälle n gerade bzw. n ungerade.

gerade: n(n+1)=2[k(2k+1)] durch 2 teilbar

ungerade:

n(n+1)=(2k+1)(2k+2)=2 (2k+1)(k+1)

durch 2 teilbar.