Aufgabe zum Thema von Erzeugendensystem der Matrize A^3

Question

Ich habe hier eine Aufgabe, die ein bisschen Schwer nachvollziehbar ist, die ich bearbeiten muss:

Aufgabe:

$$\text{Sei K ein Körper, } A\in \text{Mat}(n;K) \\\text{ Zu zeigen: für } 1\leq j, k\leq n  \text{ gilt:} \\[20pt] (A^3)(j,k)=\sum \limits_{p=1}^{n}\sum \limits_{r=1}^{n} A(j,p)A(p,r)A(r,k)$$

Problem/Ansatz:

Ganz ehrlich ich bin mir nicht ganz sicher ob ich die Aufgabenstellung verstanden, geschweige von der Erstellung des Beweises.

Alle Information die ich bisher erarbeitet habe:

$$A\in \text{Mat}(n;K) \Longrightarrow A^{n \times n} \land \text{ es gelten alle Körperaxiome} \\\sum \limits_{p=1}^{n}\sum \limits_{r=1}^{n} A(j,p)A(p,r)A(r,k) \text{ soll das Erzeugendensystem von } A^3 = A*A*A \text{ sein.} \\\text{ Für } (A^3)(j,k) \text{ wird der j-Zeile und k-Spalte aufgeteilt in ''Intervalle''} \longrightarrow 1\leq j \leq p \leq r \land 1\leq p \leq r\leq k \leq n \\\Longrightarrow 1\leq j \leq p \leq r \leq k \leq n  \Longleftrightarrow j\leq k \Longleftrightarrow (A^3)^{j\times k} \\\text{ (Ich glaube ich soll genau diese Aussage beweisen)}$$

Nachdem ich eine grobe Idee habe (falls sie überhaupt korrekt ist), was ich beweisen soll, ist die Frage wie.....

Comments

Die Frage lautet doch viel eher:

Sei \( K \) ein Körper, \( A \in M(n\times n, K) \)

$$ A = \begin{pmatrix} a_{11} & \dotsm & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1}& \dotsm & a_{nn} \end{pmatrix} $$

Und jetzt sollst du zeigen, dass der Eintrag von \( A^3 \) an der Stelle \( (j,k) \), also in der \(j\). Zeile und \(k\). Spalte, gleich

$$\sum \limits_{p=1}^{n}\sum \limits_{r=1}^{n} a_{jp} \cdot a_{pr} \cdot a_{rk} $$

ist.

Verwende dazu einfach die Definition de Multiplikation. Der Beweis ist dann ein Zweizeiler.

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Ich habe zumindest schon mal verstanden was von mir verlangt ist :)

Bei uns wurde Matrizenmultiplikation folgendermaßen definiert:

$$\gamma_{ij}=(\alpha_{i1},...,\alpha_{in})*\begin{pmatrix} \beta_{1j}\\.\\.\\.\\\beta_{nj} \end{pmatrix}=\sum \limits_{k=1}^{n}\alpha_{ik}\beta_{kj}$$

Würde die Anwendung auf diese Aufgabe folgendermaßen aussehen?

$$\\\text{Zu zeigen:}\\ A^3(j,k)=!\sum \limits_{p=1}^{n}\sum \limits_{r=1}^{n}A(j,p),A(p,r),A(r,k) \\\sum \limits_{p=1}^{n}\sum \limits_{r=1}^{n}A(j,p),A(p,r),A(r,k)= ((A_{j1},...,A_{jn})*\begin{pmatrix} A_{1r}\\.\\.\\.\\A_{nr} \end{pmatrix})*\begin{pmatrix} A_{1k}\\.\\.\\.\\A_{nk} \end{pmatrix} \\=(A_{j1}*A_{1r},...,A_{jn}*A_{nr})*\begin{pmatrix} A_{1k}\\.\\.\\.\\A_{nk} \end{pmatrix}\\= (A_{j1}*A_{1r}*A_ {1k},...,A_{jn}*A_{nr}*A_{nk}) \\\text{ Aber wie folgere ich, dass die letze Zeile äquivalent zur} A^3{j,k}?$$

Könntet Ihr da mir weiter helfen?