Frage zu gebrochenrationale Funktionen und Definitionslücken

Question

Ich habe folgende Funktion:

f(x) = (2x²+2x-12)/(x²+6x-16)

Bei x=2 ist die Funktion nicht definiert (wegen der 0 im Nenner).

Nun kann ich ja die Funktion auch so schreiben:

f(x) = (2 * (x+3)) / (x+8)

Da ist die Funktion an der Stelle x=2 definiert. f(2) = 1

Warum ist das so, dass an der Stelle 2 die Funktionswerte nicht übereinstimmen??? Woran liegt das?

Für alle anderen Werte passt es und auch die Graphen sind gleich.

Vielen Dank und schöne Feiertage.

Answer 1

"Nun kann ich ja die Funktion auch so schreiben:"

Nein, das kannst du nicht generell. Das kannst du so eben nur für alle x ungleich 2 tun. Für x=2 kannst du es nicht.

PS: Deine Verwirrung besteht vermutlich darin, dass sich bei dir eine falsche Vorstellung des Begriffs "Kürzen" verfestigt hat. Kürzen bedeutet eben nicht grundsätzlich, gemeinsame Faktoren in Zähler und Nenner einfach so "wegzustreichen". Es bedeutet vielmehr, Zähler und Nenner durch den gleichen Faktor zu dividieren.

In Situationen, in denen man dividieren darf, entspricht das Kürzen letztendlich doch nur dem Wegstreichen gleicher Faktoren. Aber du darfst in  (2 * (x+3)(x-2)) / ((x+8)(x-2)) eben NICHT uneingeschränkt mit (x-2) kürzen, weil du dazu Zähler und Nenner durch (x-2) teilen müsstest und dieses im Fall x=2 weder im Zähler noch im Nenner erlaubt ist

Comments

ok wenn ich das nicht kann, wieso sind die funktionsgraphen denn an der Stelle x=2 gleich, während die Wertetabelle abweicht???

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ok danke für die ergänzung, unser prof. hat es so vorgerechnet. Mit dem Graphen habe ich das immer noch nicht verstanden....

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Wenn du keinen diskreten Definitionsbereich gegeben hast, kannst du eben nicht immer kürzen, da du nicht ausschließen kannst, dass x stets ≠ 2 ist. Somit kann es zu einer Änderung der Funktion führen. (DL von x=2 zu x=-8)

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1) Ich habe meine Antwort inzwischen ergänzt. Lies bitte noch einmal.

2) Die Graphen sind an der Stelle x=2 nicht gleich. Der eine Graph hat dort einen Punkt, der andere NICHT. Aber das kannst du NICHT SEHEN.

Stell dir mal vor, es würde nicht nur der Punkt an der Stelle x=2 fehlen, sondern ALLE Punkte im Intervall von 1,999999999999 bis 2,00000000000001.

Wie solltest du diese (vergleichsweise große) Lücke sehen?

Dein Computerdisplay kann in einer Zeile reichlich 1000 Pixel darstellen.

Selbst wenn du nur den Graphen im Intervall von 1,95 bis 2,05 darstellen würdest,  würde 1 Pixel ein Intervall der Breite  0,0001 abdecken - deine Lücke ist viel schmaler als ein einzelnes Pixel.

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f(x) ist für x=2 und x= -8 nicht definiert.

x=2 ist aber eine hebbare Definitionslücke.

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"f(x) ist für x=-2 und x= 2 nicht definiert."

Statt -2 meinst du sicher -8.

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@Gast, du meinst x=2 und x=-8?!

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also fazit: Die beiden Funktionen sind nicht gleich, und somit dieses Prinzip der Umformung (z.B. für die Null- /Polstellenbrechnung) nicht immer richtig. Ist das ein Denkfehler von unseres Profs.? Gibt es für solche Fälle einen Fachbegriff zum nachschlagen?

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Danke, abakus, ich habe es korrigiert.

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"Ist das ein Denkfehler von unseres Profs.? Gibt es für solche Fälle einen Fachbegriff zum nachschlagen? "

Ich vermute eher, dass du das etwas verkürzt wiedergibst. Wenn er die Umformungen als etwas  INNERHALB DES DEFINITIONSBEREICHS VON f durchgeführtes deklariert hat, ist das so voll in Ordnung. Damit wäre u.a. die Stelle x=2 von vorn herein aus dem Spiel.

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Die Funktionsgraphen sind gleich, bis auf eine Lücke an der Stelle x=2 (sogenannte hebbare Definitionslücke).

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Eventuell wird es klarer wenn man ganz einfach die Funktion

f(x) = x/x

nimmt.

Für alle x ≠ 0 kommt beim einsetzen einfach 1 heraus. x = 0 darf aber nicht eingesetzt werden, da sonst durch 0 geteilt werden würde.

Für x ≠ 0 kann man aber den gemeinsamen Faktor im Zähler und Nenner kürzen. Damit kommt man auf die Funktion

f2(x) = 1/1 = 1

Diese stimmt für x ≠ 0 mit f(x) in den Funktionswerten überein. Lediglich an der Stelle x = 0 an der f(x) nicht definiert ist ist sie bei f2(x) definiert und es kommt dort 1 heraus.