Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Hälfte ihre Rechnung nicht rechtzeitig bezahlt hat?

Question

Aufgabe: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter ihnen genau die hälfte ihre Rechnung nicht rechtzeitig bezahlt haben?

Problem/Ansatz: Das Reisebüro verlangt, dass gebuchte Reisen mindestens 4 Tage vor Reiseantritt bezahlt werden. Die Erfahrung zeigt, dass 15% der Kunden ihre Rechnungen zu spät begleichen. Heute werden die Buchungen vom Monat Oktober kontrolliert. Es werden zufällig 10 Kunden ausgewählt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter ihnen (den 10 Kunden) genau die Hälfte ihre Rechnung nicht rechtzeitig bezahlt haben?

Bitte wieder mit Lösungsweg und Erklärungen evtl.

Dankeschön und frohe Weihnachten :-)

Answer 1

das ist ein binomialverteiltes Zufallsexperiment:
$$P(X=k)=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$ Hierbei steht \(n\) für die Gesamtheit aller Personen, \(k\) für die Anzahl der ausgewählten Personen und \(p\) für die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällige Person absagt:$$P(X=5)=\begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix} \cdot 0.15^5 \cdot (1-0.15)^{10-5}$$$$P(X=5)\approx 8.49\cdot 10^{-3}$$$$P(X=5)≈ 0.85\%$$