Rekursive Beschreibung eines Erwärmungsprozesses

Question

Aufgabe:

Ein Getränk wird dem Kühlschrank entnommen, wo es auf 8°C abgekühlt wurde. Die Umgebungstemperatur beträgt 22°C. Alle 30 Minuten erhöht sich die Temperatur des Getränks um 25 % der Differenz aus Umgebungstemperatur und aktueller Flüssigkeitstemperatur.

--> Stellen Sie ein rekursives Gesetz für die Folge der Temperatur t_{n} nach n Minuten auf. Wie lautet das explizite Gesetz?

Problem/Ansatz:

Umgebungstemperatur = U = 22°C :  konst.

Temperatur des Getränks t_{1} = 8°C

t_{n+1} = (U-t_{n})*1.25

Stimmt es bis hier hin? Des Weiteren habe ich versucht "Alle 30 Minunten [...]" irgendwie einzubringen. Kann ich die Folge da irgendwie einschränken?

Answer 1

Ich denke eher an

t(n + 1) = t(n) + (u - t(n))·0.25

oder

t(n + 1) = 0.75·t(n) + 0.25·u

Hier wird n aber in Anzahl der 30-Minuten-Zyklen gemessen.

Explizit würde das wie folgt aussehen

t(n) = 22 + (8 - 22)*(1 - 0.25)^(n/30)

Comments

Hier wird n aber in Anzahl der 30-Minuten-Zyklen gemessen.

Wie schreibe ich das mathematisch auf?

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Naja. Eigentlich sollst du es ja für n in Minuten notieren und nicht für n in 30 Minuten.

Das Problem daran ist, dass das einbauen nicht ganz so einfach ist.

Man könnte über zwei Verfahren nähern

Es wird Minutlich um 0.25/30 = 0.008333 erhöht oder

es wird Minutlich um (1 + 0.25)^(1/30) - 1 = 0.007466 erhöht.

Beides trifft es letztendlich nicht genau. Du könntest natürlich auch das exakte Resultat herleiten, aber das erscheint mir eigentlich zu aufwendig.

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Kann ich nicht einfach sagen, dass n folgende Werte annehmen kann:

n∈(30; 60; 80; 120; ⋯)

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Stellen Sie ein rekursives Gesetz für die Folge der Temperatur tn nach n Minuten auf.

Ich glaube es wird erwartet das hier n element der natürlichen Zahlen ist.

ein Trick wie

t(0) = 8
t(n + 30) = f(t(n))

wäre dann wohl eher nicht erlaubt.