Funktion in Potenzreihe umwandeln mittels geometrischer Reihe

Question

Aufgabe:

Schreiben sie folgende Funktion als Potenzreihe. (Nutzen sie dafür die geometrische Reihe)

Problem/Ansatz:

Ich kenne die geometrische Reihe nur verstehe ich folgenden Schritt aus der Lösung nicht:

$$\frac { 1 } { ( 1 - x ) ^ { 2 } } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( n + 1 ) x ^ { n }$$

Kann mir das jemand bitte kurz erklären? sitze jetzt schon 2 stunden vor der Aufgabe und weiß einfach nicht wie man darauf kommt.

Answer 1

nutze

d/dx [1/(1-x)]=1/(1-x)^2

Stelle 1/(1-x) als geometrische Reihe dar und leite sie dann ab, um auf die Darstellung von 1/(1-x)^2 zu kommen.

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort:

wenn ich \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{} \) \( x^{k} \) ableite

komme  ich aber dann auf \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{} \)k*(\( x^{k-1} \))

und nicht auf diese Lösung:

$$\frac { 1 } { ( 1 - x ) ^ { 2 } } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( n + 1 ) x ^ { n }$$ 

mach irgendetwas falsch?

---

Wenn du eine Potenzreihe ableitest, so erhöht sich der Stardindex der Summationsvariable  um 1. Also

d/dx  Summe (k=0 bis unendlich )x^k

=Summe (k=1 bis unendlich) kx^(k-1)

Setze nun k=n+1, um auf das gewünschte Ergebnis zu gelangen.

---

Ah, super danke! Das wusste ich nicht. Jetzt ergibt das für mich auch Sinn.

Merci!

Answer 2

Man müsste den Nenner (1-x)² in der Form 1-q schreiben.

Wegen  (1-x)²=1-2x+x² = 1-(2x-x²) ist also q=2x-x², und  somit gilt

$$\frac{1}{ (1-x)²}=1+(2x-x²)+(2x-x²)²+(2x-x²)³+\cdots$$

Aber ich glaube, das wurde hier nicht gemacht.

Man hat 1/(1-x)² integriert zu 1/(1-x), das Integral als Summe einer geometrischen Reihe (1+x+x²+...) geschrieben und diese Summe dann abgeleitet.