Zwei Bruchterme "kreuzweise" kürzen

Question

Aufgabe:

Folgende Brüche vereinfachen, bzw. auf die Form 1 / n+1 bringen:

(1) / (n) * (n+1-1) / (n+1)

Problem/Ansatz:

Ich kann in Bruch 1 das "n" mit dem "n" im zweiten Bruch kürzen, so dass dann folgendes dasteht:

(1) / (1) * (1+1-1) / (n+1)

= 1 * (1+1-1) / (n+1)

= 1 * ( 1 / n+1 )

= 1 / n+1

Problem gelöst, aber warum darf ich das? So dürfte ich ja auch nicht kürzen:

(2) / (n) * (n+1-1) / (n+2)

zu:

(1) / (n) * (n+1-1) / (n+1)

Eher nicht, weil da kommt sonst Blödsinn raus. Nach welcher "Regel" funktioniert das?

Answer 1

Entgegen einen weit verbreiteten Irrglauben heißt kürzen  NICHT: in Zähler und Nenner irgendwas Gleiches wegzustreichen. In deinem zweiten Beispiel demonstrierst du den Uralt-Merkspruch: "Aus Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen."

Kürzen heißt in Wirklichkeit: Zähler und Nenner durch den gleichen (von Null verschiedenen) Term zu teilen.

Das ist der Grund, warum im ersten Beispiel im Zähler und Nenner der Faktor n jeweils verschwunden ist, weil Zähler und Nenner durch n geteilt wird.

Wenn du im zweiten Beispiel aus der 2 im Zähler eine 1 machen willst, so kannst du Zähler und Nenner durch 2 teilen. Die Hälfte von 2 ist (im Zähler) tatsächlich 1, aber die Halbierung des Faktors (n+2)  im Nenner führt nicht auf n+1, sondern auf 0,5n+1.

Comments

Ok, soweit so klar. Aber warum wird dann aus den 1en nicht 1 / n

Answer 2

(1) / (n) * (n+1-1) / (n+1)

Vereinfache zunächst +1-1 = 0

(1) / (n) * (n) / (n+1)

Jetzt kann das n im Nenner und das n im Zähler gekürzt werden

(1) / (1) * (1) / (n+1)

Nun Brüche multiplizieren

1 / (n + 1)

Answer 3

Du musst deine Klammern verbessern. Es gilt ja Punkt- vor Strichrechnung und / entspricht der Division (d.h. ist Punktrechnung)

Folgende Brüche vereinfachen, bzw. auf die Form 1 / (n+1) bringen:

(1) / (n) * (n+1-1) / (n+1)

Falsch ist auch deine Klammerung bei:

(1) / (1) * (1+1-1) / (n+1)     | so nicht erlaubt.

= 1 * (1+1-1) / (n+1)

= 1 * ( 1 / (n+1) )

= 1 / (n+1)

Rechnen kannst du das folgendermassen. 
(1) / (n) * (n+1-1) / (n+1)        | n+1-1 = n

= (1) / (n) * (n) / (n+1)        | Bruchmult.

= (1*n)/((n)*(n+1))             | kürzen mit n

= 1 / (n+1)