Gesetz der großen Zahlen

Question

hier versteckt sich das Problem:

limP(P(A)− ε <hn(A)<P(A)+ ε) =1
n→ ∞

Mir ist klar, was es mit dem Gesetz der großen Zahlen auf sich hat, dennoch verstehe ich diesen mathematischen Ausdruck nicht.

lim
n→ ∞ → Nach unendlich vielen Wiederholungen des Zufallsexperiments

P(...)→ ist die Wahrscheinlichkeit

(....hn(A)....)=1→ das die relative Häufigkeit zwischen "" und "" liegt gleich 1 (also sicher)

Was zu gut deutsch wahrscheinlich so viel heißt, dass dabei die relative Häufigkeit der Wahrscheinlichkeit entspricht.

Was genau ist ε? Und was genau besagt P(A)+ ε?
Über eine Zahlenbeispiel für ε oder eine verständliche Erklärung des Terms würde ich mich freuen.

Gruß Pablo

Comments

ich schreib' den Term erstmal ordentlicher hin. Meinst du diesen Term:

\( \lim_{n \rightarrow \infty} \left( P(P(A) - \epsilon < h_n(A) < P(A) + \epsilon \right) = 1 \) ?

MfG

Mister

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Hallo Mister,

danke für die übersichtlichere Schreibweise. Genau dieser Term ist gemeint.

Gruß
Pablo

Answer 1

Hallo Pablo,

dieser Ausdruck

\( \lim_{n \rightarrow \infty} \left( P(P(A) - \epsilon < h_n(A) < P(A) + \epsilon \right) = 1 \)

sagt in der Tat folgendes aus:

Je öfter der Zufallsversuch wiederholt wird, das heißt je größer n wird, desto wahrscheinlicher liegt die relative Häufigkeit des Versuchsausgangs A in der \( \epsilon \)-Umgebung der theoretisch zu erwartenden Wahrscheinlichkeit.

Man will damit meinen, dass für beliebig kleine \( \epsilon > 0 \) ein \( N \) existiert, sodass \( P(A) - h_n(A) < \epsilon \) für alle \( n \geq N \), beziehungsweise, dass die Wahrscheinlichkeit der Gültigkeit dieser Aussage immer größer wird, sprich immer näher an der \( 1 = 100 \% \) liegt.

Der Ausdruck beinhaltet also einen gewissen Konvergenzbegriff für Zufallsvariable, nämlich jenen der "fast sicheren Konvergenz" (*).

MfG

Mister

PS: (*) https://de.wikipedia.org/wiki/Gesetz_der_gro%C3%9Fen_Zahlen ,

https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenz_%28Stochastik%29#Fast_sichere_Konvergenz