Wie zeichnet man einen Graphen einer Funktion ohne Wertetabelle?

Question

Aufgabe:

f(x)=x^4-8x skizzieren ohne Wertetabelle

Problem/Ansatz:

Ich konnte diese Teilaufgabe leider nur mit Wertetabelle lösen, was aber nicht sein darf.

Comments

Die Aufgabe spricht vom "Skizzieren" des Graphen, dies ist nicht dasselbe wie das "Zeichnen". Bitte informiere dich über die Unterschiede! Eine Skizze soll offensichtliche oder einfach zu ermittelnde Eigenschaften der Funktion deutlich machen, mehr wird nicht verlangt.

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Danke für diesen glorreichen Hinweis @Gast az0815. Der Unterschied zwischen dem „Zeichnen“ und dem „Skizzieren“ ist mir schon bewusst.

Nur spielt es bei meiner Fragestellung eigentlich keine Rolle, weil ich wüsste weder, wie man die Funktion „skizziert“ noch wie man sie „ zeichnet“. Für mich also in dem Fall gleichgültig.☺️

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Na ja, nach dem Faktorisieren des Funktionsterms $$f(x)=x^{4}-8x=x\cdot\left(x^3-8\right)=x\cdot\left(x-2\right)\cdot\left(x^2+2x+4\right)$$wissen wir, dass \(f\) genau zwei einfache Nullstellen mit Vorzeichenwechsel besitzt. Das Globalverhalten im Unendlichen und das Lokalverhalten bei \(x=0\) ist bereits aus dem ursprünglichen Funktionsterm zu entnehmen. Das ist für eine Skizze schon recht viel.

Answer 1

Ich würde mal ausklammern   x * (x^3 - 8) = x * (x-2) * (x^2 + 2x + 4)

Also gibt es bei 0 und 2 je eine Nullstelle. Und der Faktor x^2 + 2x + 4

ist immer positiv, also ist f(x) zwischen 0 und 2 negativ und rechts und links davon immer positiv.

Und um zu wissen wie tief es zwischen 0 und 2 runter geht

reicht näherungsweise vielleicht der Wert von f(1) = -7.

Answer 2

-8x

Grundsätzlich verläuft die Funktion mit der Steigung -8 durch die Nullstelle bei 0

x^4

Für sehr große und kleine x gehen die Funktionswerte gegen +∞

x^4 - 8x = x(x^3 - 2^3)

Eine weitere Nullstelle liegt bei 2.

Wenn du jetzt noch den Tiefpunkt ausgerechnet hast dann den auch einzeichnen. Das war es dann schon. Dann noch die Werte verbinden.