Eigenart einer Lucas-Folge

Question

Bilde eine Zahlenfolge auf folgende Weise: Lege die ersten beiden Glieder der Folge beliebig fest. Ein nächstes Folgenglied ist immer die Summe der beiden Vorgänger.  Zeige: Die Summe der ersten 10 Folgenglieder ist (unabhängig von den Startgliedern) das 11-fache des siebten

Answer 1

Hallo Roland,

(reine Schreibarbeit): $$a,b\\ x_1=a+b \\ x_2 = a+2b \\ x_3 = 2a + 3b \\ x_4 = 3a+5b \\ x_5 = 5a+8b \\ x_6 = 8a + 13b \\ x_7 = 13a + 21b  \\ x_8 = 21a + 34b \\ x_9 = 34a + 55b \\ x_{10} = 55a + 89b \\ \sum_{i=1}^{10} x_i = 143a+231b=11(13a+21b) = 11x_7 $$des weiteren ist $$\sum_{i=1}^{6}x_i= 4x_5$$ und auch $$\sum_{i=1}^{14} x_i = 29x_9$$ sowie $$\sum_{i=1}^{18} x_i = 76x_{11}$$

Behauptung: $$x_{2n+3} \left | \sum_{i=1}^{4n+2} x_i \quad \forall n \in \mathbb{N} \right.$$ was zu beweisen wäre ...

Noch 'ne Behauptung: Setze \(y_i = x_i\) mit \(a=1,\, b=3\) dann ist $$y_{2n-1} \cdot x_{2n+3} = \sum_{i=1}^{4n+2} x_i \quad \forall n \in \mathbb{N}$$

Comments

... ich habe noch einen Zusatz angehängt! (s. Behauptung in der Antwort)