” Analysis I und Lineare Algebra für Ingenieurwissenschaften

Question

Aufgabe:

a) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion g : R → R, g(x) = e^x − 1 − x und

finden Sie alle ihre lokalen und globalen Minima.
b) Zeigen Sie, dass e^x ≥ 1 + x für alle x ∈ R gilt.
c) Wenden Sie b) an, um zu zeigen, dass die Folge xn =(1 - (1/√n))^n, n ≥ 1, gegen 0 konvergiert.

Mir fehlt leider jeglicher Ansatz, daher bin ich für jede Hilfe dankbar! :)

Answer 1

für eine y-Achsensymmetrie muss gelten: -g(x)=g(-x) 
für eine Punktsymmetrie zum Ursprung: -g(x)=g(-x)

ist dies gegeben?

für lokale Minima die 1. Ableitung der Funktion berechnen und null setzen. 
Zum Überprüfen in die 2. Ableitung einsetzen. Es muss gelten g''(x₀) > 0 ∧ g''(x₀) ≠ 0 )

Dieser Punkt ist auch das globale Minimum, da die Funktion stetig differenzierbar ist und die Funktion im Intervall ]-∞,∞[ definiert ist, wobei g(-∞)=∞, g(∞)=∞ ist, sprich an den Intervallsgrenzen globale Maxima sind.

b) Kannst du z.B. mit dem Mittelwertsatz berechnen.

Oder ungefähr gesagt so:  \( 1+x \le 1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+...=e^x\)

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort :)