Hesse Matrix - positiv, negativ definit oder indefinit

Question

gegeben sei folgende Hesse-Matrix:

H(0, 1) = \( \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \)

Hierzu würde ich gerne bestimmen ob diese positiv definit, negativ definit oder keines der beiden (indefinit) ist.

Hierzu habe ich das charakteristische Polynom über die Determinante berechnet:

(4-λ) * (2-λ) - 2 * 2 ⇔ λ² - 6λ + 4

Nullstellen bzw. Eigenwerte sind also: {0,764 ; 5,236}

⇒ Beide Eigenwerte sind positiv bzw. >= 0 ⇒ positiv definit

Habe ich bis hier alles richtig gemacht? Mich verwirrt ein bisschen, dass in der Aufgabenstellung H(0, 1) steht und das ich damit überhaupt nichts machen musste um auf das Ergebnis zu kommen. Das sagt mir doch nur, dass in (0, 1) ein Minimum ist oder übersehe ich etwas?

Comments

Bemerke dass für 2x2 Matrizen bessere Kriterien für Definitheit gibt:
H positiv definit ⇔ det H > 0 und Spur H > 0
H negativ definit ⇔ det H > 0 und Spur H < 0
H indefinit ⇔ det H < 0

Die Beweise hierfür werden häufig in der Vorlesung Geometrie behandelt.

Answer 1

Nullstellen bzw. Eigenwerte sind also: {0,764 ; 5,236}

Stimmt ungefähr.

dass in der Aufgabenstellung H(0, 1) steht und das ich damit überhaupt nichts machen musste

Es ist üblich, das Objekte in der Mathematik Namen bekommen. Wenn ich das mit dem multipliziere, dann dass da abziehe und schließlich quadriere, dann weiß niemand, wovon ich rede. H(0,1) ist der Name der Matrix, deren Eigenwerte du bestimmt hast.