Wie bestimmt man die Basis von 4 verschiedenen Vektoren des ℝ^4?

Question

ich brauche bitte Hilfe bei folgender Aufgabe:

Gegeben seien die folgenden Vektoren des ℝ⁴:

\( \vec{v1} \)  = (2, 1, 0, -1)^t

\( \vec{v2} \)  = (-2, 3, 4, 1)^t

\( \vec{v3} \)  = (1, 2, 0, -1)^t

\( \vec{v4} \)  = (-1, 5, 4, 0^)t

Bestimmen Sie eine Basis für ⟨ { \( \vec{v1} \), \( \vec{v2} \), \( \vec{v3} \), \( \vec{v4} \) } ⟩.

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MfG

Answer 1

schreibe die Vektoren als Matrix.

Forme die Matrix mithilfe des Gaus-Verfahren in Stufenform um. Am Ende kannst du dann die Basisvektoren ablesen.

Tipp: v_3+v_2=v_4

Comments

vielen Dank für deine Antwort. Ich habe oben zu der Antwort von lul schon einen Lösungsansatz aufgeschrieben, jedoch weiß ich nicht, ob das richtig ist.

Könntest du dir das bitte einmal ansehen? Ist das auch das, was du gemeint hast?

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MfG

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Es kommt am ende nach dem gauß verfahren

{\( \begin{pmatrix} x=0\\x2+x4=0\\x3+4=0 \end{pmatrix} \)

raus. und das soll die Basis bilden ?

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Dein Ansatz ist richtig. Ich komme als Ergebnis folgende Basisvektoren heraus:

v*_1=(0,1,1,0)

v*_2=(0,-3,0,1)

v*_3=(1,-1,0,0)

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Hallo Gast jc2144,

nach Lösen des linearen Gleichungssystems komme ich auf

\( \begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 & -1\\ 0 & 4 & 3/2 & 11/2 \\ 0 & 0 & -3/2  &-3/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)

Somit für die Basisvektoren B = { \( \begin{pmatrix} 2\\0\\0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} -2\\4\\0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1\\3/2\\-3/2 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} -1\\11/2\\-3/2 \end{pmatrix} \) }. Habe für das LGS auch zur Kontrolle einen Rechner aus dem Internet benutzt, und wie du sagtest ist v2 + v3 = v4 erfüllt.

Ist das mit der Basis richtig, oder habe ich da was falsch verstanden?

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Nabend,

das kann auf jeden Fall nicht sein, denn die Dimension deiner Vektoren ist nur 3, gebraucht wird aber 4.

Hast du zu der Aufgabe inzwischen eine Lösung?

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Vllt. hilft das hier?

http://www.massmatics.de/merkzettel/#!355:Basis_aus_EZS_auswaehlen

Answer 2

Hallo

 du suchst dir die Menge von linear unabhängige, Vektoren aus den 4 aus, die bilden dann ne Basis des Unterraums, wenn alle 4 lin unabhängigen sind bilden sie schon eine Basis des R^4.

Gruß lul

Comments

danke für die Antwort.

Ich bin mir nicht sicher, ob das richtig ist, was ich hier schreibe. Ich bitte um eine weitere Rückmeldung, gerne auch von anderen Mitgliedern.

Also damit die 4 Vektoren linear unabhängig sind, muss doch als Ergebnis der Vektor \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\0 \end{pmatrix} \) rauskommen, wenn man alle addiert, habe ich das richtig verstanden?

Also bei dieser Aufgabe:

x₁ • \( \begin{pmatrix} 2\\1\\0\\-1 \end{pmatrix} \) + x₂ • \( \begin{pmatrix} -2\\3\\4\\1 \end{pmatrix} \) + x₃ • \( \begin{pmatrix} 1\\2\\0\\-1 \end{pmatrix} \) + x₄ • \( \begin{pmatrix} -1\\5\\4\\0 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\0 \end{pmatrix} \) .

Damit ergibt sich das lineare Gleichungssystem:

2x₁ - 2x₂ + x₃ - x₄ = 0

x₁ + 3x₂ + 2x₃ + 5x₄ = 0

4x₂ + 4x₄ = 0

- x₁ + x₂ - x₃ = 0

Jetzt muss ich nur noch alles nach x₁ bis x₄ umformen und der Vektor \( \begin{pmatrix} x1\\x2\\x3\\x4 \end{pmatrix} \) ist dann ein linear unabhängiger Vektor dieser 4 Vektoren? Und ist dieser Vektor dann gleichzeitig die Basis und die Lösung der Aufgabe, oder fehlt da noch etwas?

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MfG