Wie zeige ich: Vektoren v1,......,vm bilden eine Basis des ℝ^n ⇔m=n und rg(v1,......,vm)=n?

Question

Wie zeige ich diese Aussage?

Die Vektoren v₁,......,v_m bilden eine Basis des ℝⁿ ⇔m=n und rg(v₁,......,v_m)=n

Der Rang der Matrix beträgt n bzw. m, dass heißt es gibt keine Nullzeilen, aber woher weiß ich ob v₁,......,v_m

ein Erzeugendensystem sind und v₁,......,v_m linear unabhängig sind, und wie zeige ich es am besten?

Answer 1

" v₁,......,v_m bilden eine Basis des ℝ^{n "} 

heisst: v1... vm sind linear unabhängig und spannen den R^n (seine Dimension ist n) auf. Daher gilt m=n.

Eine n*n-Matrix mit linear unabhängigen Spalten hat immer den Rang n. 

Eine n*n-Matrix mit linear abhängigen Spalten nie. 

Diese 3 Aussagen sollten in deinen Unterlagen bewiesen sein, dann kannst du damit den hier verlangten Beweis formulieren.