Question

Seien v₁, . . . , v_m Vektoren aus Rⁿ
. Um eine Basis des Erzeugnisses U =
⟨v1, . . . , vm⟩ zu bestimmen, die aus einigen der Vektoren vi besteht, kann man die v_i zu den
Spalten einer Matrix A ∈ R^n×m machen, und diese Matrix auf Zeilenstufenform bringen:
dann ist {v_i| x_i eine gebundene Variable} eine Basis.

Kann mir von euch einer bitte mal erklären, warum dieses Verfahren funktioniert?

Answer 1

Aloha :)

Der Unterschied zwischen einem Erzeugendensystem und einer Basis ist die Eindeutigkeit. Um einen Vektor eines Vektorraums darzustellen gibt es also mehrere Linearkombinationen aus einem Erzeugendensystem aber nur genau eine Linearkombination aus einer Basis. Oder anders ausgedrückt, die Vektoren eines Erzeugendendystems sind linear abhängig, die Vektoren einer Basis sind linear unabhängig.

Wenn du die Vektoren eines Erzeugendensystems als Zeilen (nicht als Spalten!) in eine Matrix einträgst und dann elementare Zeilenumformungen durchführst, bis die Matrix auf Dreiecksgestalt ist, entfernst du die linearen Abhängigkeiten der Erzeugenden-Vektoren. Das äußert sich in den Null-Zeilen, die bei dem Verfahren entstehen. Sobald die Dreiecksform erreicht ist, müssen die verbliebenen Vektoren linear unabhängig sein und damit eine Basis des Vektorraums bilden.

Answer 2

Du brauchst ja eine Auswahl von linear unabhängigen Vektoren

aus v1, . . . , vm.  Wenn du die Stufenform

hast, nimmst du aus jeder "Stufe" einen, dann sind die

1. lin. unabh. und

2. erzeugen immer noch das gleiche wie v1, . . . , vm.