Erzeugnis, Basis, Erzeugendensystem, lineare Hülle?

Question

Könntet ihr mir die Begriffe anhand von Beispielen (Vektoren) erklären?

Was ist Erzeugendensystem?

Was ist Erzeugnis?

Was ist eine Basis?

Ist lineare Hülle das gleiche wie Erzeugnis?

Answer 1

Was ist Erzeugnis? Beispiel

Wenn du einige Vektoren hast etwa  (1;1)  und (2;0 )   und  (1;3)

dann kannst du ja davon Liearkombinationen bilden z.B.

5*(1;1)  +2* (2;0 )   + 1*(1;2) = (10 ; 7) oder allgemein

a1*(1;1)  +a2* (2;0 )   + a3*(1;2)  mit irgenwelchen a1,a2,a3 aus IR.

Alles was man so "erzeugen" kann (also was an Stelle von (10;7) herauskommt)

bildet einen Vektorraum U. 

Dieser Vektorraum ist das Erzeugnis

(bzw. der linearen Hülle das ist synonym) der drei gegebenen Vektoren.

Und die drei gegebenen Vektoren sind dann ein Erzeugendensystem für diesen

Vektorraum.

In unserem Beispiel kann man aber etwa den Vektor (10;7) nicht nur so erzeugen
wie oben, sondern auch mit anderen Zahlen vor den drei Vektoren,
z.B.    10*(1;1)  +(0,75)* (2;0 )   + (-1,5)*(1;2) = (10 ; 7)

Das liegt daran, dass die drei Vektoren linear abhängig sind
(Kannst du ja mal nachrechnen !)
Und wenn ein Erzeugendensystem aus linear abhängigen Vektoren besteht ist
das immer so. Wenn man das nicht möchte kann man immer einen (oder mehrere)
finden, die man weglassen kann , dass sie restlichen Vektoren linear
unabhängig sind, aber trotzdem noch die gleichen Vektoren erzeugen
wie vorher. 
Ein solches Erz.syst. aus linear unabhängigen Vektoren heißt Basis des Vektorrauems,
mit ihr lassen sich alle Vektoren in EINDEUTIGER Weise erzeugen.

Comments

Wenn wir zb diese vektoren gegeben haben und das erzeugnis bestimmen solle. Müssen wir dann einfach nur die linearkombination aufschreiben? Wie a*x1+b*x2+c*x3+d*x4???

Müssen wir sie gleichung gleich null setzen und ausrechnen???

Bin verzweifelt... 

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Wenn wir zb diese vektoren gegeben haben und das erzeugnis bestimmen solle. Müssen wir dann einfach nur die linearkombination aufschreiben? Wie a*x1+b*x2+c*x3+d*x4???

JA, dabei sind die x'e die 4 Vektoren !

Müssen wir sie gleichung gleich null setzen und ausrechnen???

Das musst du tun, um zu prüfen, ob die 4 lin. unabh. sind.

Und du sollst ja wohl eine Basis finden, deshalb musst du das tun und wirst sehen:

Es gibt Lösungen für abcd wenn gilt  a-2b+4d=0   und  b+0,5c + d =0          (*)

also sind die V'en lin.abh und bilden keine Basis.

die beiden Gl'en (*)     sind erfüllt z.B. für a=6 und b=1 und d=-1

Dann gibt dein Ansatz dir

6*x1   +  1* x2    -  x4 = 0

bzw  6*x1   +  1* x2    = x4

Also kann x4 durch x1 und x2 erzeugt werden, wird demnach für eine Basis nicht

gebraucht.

Ebenso gilt (*) auch für a=1 und b=0,5  und c=-1 

also   x1  +  o,5* x2    -1* x3 = 0

     oder x1  +  o,5* x2    = x3

Also kann x3 auch durch x1 und x2 erzeugt werden, wird demnach für eine Basis nicht

gebraucht.

Damit kannst du alles was mit x1 bis x4 erzeugt wird, auch durch x1 x2 alleine erzeugen,

und diese beiden sind lin. unabh. also bilden sie die gesuchte

Basis.

Damit beantwortet sich auch die Eingangsfrage:  Der von x1 bis x4 erzeugte

Unterraum sind die Linearkombinationen von x1 und x2.

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Ab hier komme ich leider nicht weiter... Die nächste aufgabe lautet: geben sie eine basis b für den von e erzeugten untervektorraum an

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Bis dahin richtig. Jetzt hast du doch die 2 Gleichungen, die ichauch hatte:

a-2b+4d=0   und  b+0,5c + d =0          (*)

die beiden Gl'en (*)     sind erfüllt z.B. für a=6 und b=1 und d=-1

Das sind einfach probierte Werte mit der Vorgabe d=-1, damit (s.u)

das x4 auf die andere Seite gebracht werden kann:

Dann gibt dein Ansatz dir

6*x1   +  1* x2    -  x4 = 0

bzw  6*x1   +  1* x2    = x4

Also kann x4 durch x1 und x2 erzeugt werden, wird demnach für eine Basis nicht

gebraucht.

Ebenso gilt (*) auch für a=1 und b=0,5  und c=-1 

also   x1  +  o,5* x2    -1* x3 = 0

     oder x1  +  o,5* x2    = x3

Also kann x3 auch durch x1 und x2 erzeugt werden, wird demnach für eine Basis nicht

gebraucht.

Damit kannst du alles was mit x1 bis x4 erzeugt wird, auch durch x1 x2 alleine erzeugen,

und diese beiden sind lin. unabh. also bilden sie die gesuchte

Basis.