Was ist Erzeugnis? Beispiel
Wenn du einige Vektoren hast etwa (1;1) und (2;0 ) und (1;3)
dann kannst du ja davon Liearkombinationen bilden z.B.
5*(1;1) +2* (2;0 ) + 1*(1;2) = (10 ; 7) oder allgemein
a1*(1;1) +a2* (2;0 ) + a3*(1;2) mit irgenwelchen a1,a2,a3 aus IR.
Alles was man so "erzeugen" kann (also was an Stelle von (10;7) herauskommt)
bildet einen Vektorraum U.
Dieser Vektorraum ist das Erzeugnis
(bzw. der linearen Hülle das ist synonym) der drei gegebenen Vektoren.
Und die drei gegebenen Vektoren sind dann ein Erzeugendensystem für diesen
Vektorraum.
In unserem Beispiel kann man aber etwa den Vektor (10;7) nicht nur so erzeugen
wie oben, sondern auch mit anderen Zahlen vor den drei Vektoren,
z.B. 10*(1;1) +(0,75)* (2;0 ) + (-1,5)*(1;2) = (10 ; 7)
Das liegt daran, dass die drei Vektoren linear abhängig sind
(Kannst du ja mal nachrechnen !)
Und wenn ein Erzeugendensystem aus linear abhängigen Vektoren besteht ist
das immer so. Wenn man das nicht möchte kann man immer einen (oder mehrere)
finden, die man weglassen kann , dass sie restlichen Vektoren linear
unabhängig sind, aber trotzdem noch die gleichen Vektoren erzeugen
wie vorher.
Ein solches Erz.syst. aus linear unabhängigen Vektoren heißt Basis des Vektorrauems,
mit ihr lassen sich alle Vektoren in EINDEUTIGER Weise erzeugen.