Konvergenzeigenschaften der folgenden uneigentlichen Integral berechnen

Question

* Konvergenzeigenschaften berechnen

*Im Fall einer Konvergenz muss ich die Werte auch berechnen.

∞

∫        x³ e^-nx dx,     n   ∈  Ν

0

∞

∫    xe ^{(-x)^2}    dx

0

bei diesen Bsp benötige ich eure ganze Hilfe, bin mir nicht im klaren wie ich vorgehen muss

GANZ LIEBE GRÜSSE

Answer 1

∞

∫        x³ e^-nx dx,     n   ∈  Ν

0

Nach mehrfacher partieller Integration

( immer den Term mit x^3 als f und den e hoch... als g ' nehmen)

erhältst du als Stammfkt

(-1/n^4 ) * (n^3 x^3 + 3n^2 x^2 + 6n x + 6 ) * e ^-nx

jetzt machst du erstmal das Integral von 0 bis z, das gibt

(6 / n^4 ) - (1/n^4)* (n^3 z^3 + 3n^2 z^2 + 6n z + 6 )* e ^-n*z

und da e ^-n*z   "stärker" gegen 0 geht  als

(1/n^4)* (n^3 z^3 + 3n^2 z^2 + 6n z + 6 ) gegen unendlich, hat für z gegen unendlich

der ganze Term (1/n^4)* (n^3 z^3 + 3n^2 z^2 + 6n z + 6 )* e ^-n*z den GW 0

also bleibt (6 / n^4 ) als Wert des uneigentl. Integrals.

∞

∫    xe ^(-x)2    dx

0

Hier ist es ähnlich, allerdings hier mit Substitution  u = -x^2

[ vermutlich war die Klammer nicht um das -x ]

gibt Stammfkt   -1/2 * e ^{-x quadrat}   

Jetzt wieder Int. von o bis z und im Ergebnsi den GW für z gegen unendlich

gibt 1/2