Stammfunktion gesucht: ∫ (3x) / (1+x^2 ) dx

Question

∫ (3x) / (1+x² ) dx

b.) ∫ (12x+8)/ (3x² +4x+7) dx

frage zu aufgabe b.) bei solchen Beispielen ist das Endergebnis immer ln und dann der nenner

in diesem Fall ln ((3x² +4x+7) ) davor muss ich eine konstante vor dem integral schieben. bei vielen Beispielen war es immer 1/2 nur frage ich mich warum . kann mir hier jeamand helfen ...... LG

Answer 1

Eine Stammfunktion ist die Aufleitung einer Funktion
Aufleitung einer Funktion: a / n+1 · eⁿ⁺¹ a ist der Leitkoeffizient, n der Exponent und e die Variable

Comments

@mangekyo
Erstens meinst du sicher anstatt
Aufleitung einer Funktion: a / n+1 · eⁿ⁺¹
Aufleitung einer Funktion: a / ( n+1 ) · eⁿ⁺¹
Zweitens
scheint sich deine Antwort irgendwie auf eine andere
Frage zu beziehen ?

---

Der Fragesteller sucht doch wahrscheinlich die Stammfunktion von (3x) / (1+x² ) bzw. (12x+8)/ (3x² +4x+7) oder bin ich da falsch?

---

Aufleitung einer Funktion: a / n+1 · eⁿ⁺¹ a ist der
Leitkoeffizient, n der Exponent und e die Variable

Ich verstehe deine Antwort leider nicht.

Könntest du sie für

∫ (3x) / (1+x² ) dx

einmal vorführen ?

Answer 2

a.) ∫ (3x) / (1+x² ) dx

b.) ∫ (12x+8)/ (3x² +4x+7) dx

frage zu aufgabe b.) bei solchen Beispielen ist das Endergebnis
immer ln und dann der nenner

in diesem Fall ln ((3x² +4x+7) ) davor muss ich eine konstante
vor dem integral schieben. bei vielen Beispielen war es immer
1/2 nur frage ich mich warum . kann mir hier jeamand helfen ...... LG

Allgemein : [ ln ( term ) ] ´ = ( term ´)  /  term
Wenn im Zähler die Ableitung des Terms steht dann ist
die Stammfunktion irgendetwas mit dem Logarithmus.

mal probieren

a.)
[ ln ( 1+ x^2 ) ] ´ =  2*x / ( 1+x^2 )
[ 1.5 * ln ( 1+ x^2 ) ] ´ =  3*x / ( 1+x^2 )
∫ (3x) / (1+x² ) dx = 1.5 * ln ( 1+ x^2 )

b.)
[ ln ( 3x² +4x+7 ) ] ´ = ( 6x + 4 ) / ( 3x² +4x+7 )
[ 2 * ln ( 3x² +4x+7 ) ] ´ = ( 12x + 8 ) / ( 3x² +4x+7 )
∫ (12x+8)/ (3x² +4x+7) dx = 2 * ln ( 3x² +4x+7 ) 

mfg Georg

Answer 3

∫ (3x) / (1+x² ) dx

b.) ∫ (12x+8)/ (3x² +4x+7) dx

bei solchen Beispielen ist das Endergebnis immer ln und dann der nenner

Das stimmt nur, wenn im Zähler genau die Ableitung des Nenners steht.

Hier gilt aber

(1+x^2)' = 2x

und

(3x^2 + 4x + 7)' = 6x + 4.

Vergleiche nun mit den vorhandenen Zählern.

(1+x^2)' = 2x 

3x = 3/2 * 2x

und

(3x^2 + 4x + 7)' = 6x + 4.

12x + 8 = 2 * (6x + 4)

Schreibe nun die Integrale folgendermassen um:

∫ (3x) / (1+x² ) dx = 3/2 ∫ (2x) / (1+x² ) dx  = 3/2 * ln(1+x^2) + C

b.) ∫ (12x+8)/ (3x² +4x+7) dx = 2  ∫ (6x+4)/ (3x² +4x+7) dx = 2*ln(3x^2 + 4x + 7) + C