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Hallo :)

Ich muss mit Hilfe von Substitution eine integralfreie Darstellung finden:

∫ ln(x²+3) dx

Als Tipp ist angegeben, dass es hilfreich sei erst partiell zu integrieren.


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∫ LN(x^2 + 3) dx

∫ 1·LN(x^2 + 3) dx

Partielle Integration

x·LN(x^2 + 3) - ∫ x·(2·x)/(x^2 + 3) dx

x·LN(x^2 + 3) - ∫ 2·x^2/(x^2 + 3) dx

x·LN(x^2 + 3) - ∫ (2 - 6/(x^2 + 3)) dx

x·LN(x^2 + 3) - ∫ 2 dx + ∫ 6/(x^2 + 3) dx

x·LN(x^2 + 3) - 2·x + 2·√3·arctan(x/√3) + c

----------------------------------------------------------------------------------------------------

∫ 6/(x^2 + 3) dx

∫ 2/(x^2/3 + 1) dx

Subst. z = x/√3

dz = 1/√3 dx --> dx = √3 dz

∫ 2/(z^2 + 1) √3 dz

∫ 2·√3 · 1/(z^2 + 1) dz

2·√3·arctan(z) + c

Resubst.

2·√3·arctan(x/√3) + c

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Merke dazu vielleicht auch

∫ (a/(b·x^2 + c) dx = a/√(b·c)·arctan(√(b/c)·x)

∫ 6/(1·x^2 + 3) dx = 6/√(1·3)·arctan(√(1/3)·x) = 2·√3·arctan(x/√3)

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folge dem Hinweis der partiellen Integration. Dabei ist der zweite Faktor die "unsichtbare" 1.

Kommst auf:

xln(x^2+3) - ∫ 2x^2/(x^2+3) dx


Kommst Du damit weiter? Tipp: Polynomdivision und dann an den arctan denken ;).


Grüße

Avatar von 141 k 🚀
Danke schonmal, aber wie komme ich nun weiter.. ich muss ja eine Substitution machen. Leider weiß ich nicht was ich substituieren soll :/ Mit der Polynomdivision komme ich auch nicht weiter :( da kommt doch wieder ein bruch raus oder?

Hast du den Tipp zuende gelesen?

ja, aber ich weiß nicht wie ich das mit arctan substituiere..

Es genügt, wenn du die Ableitung von arctan kennst.

https://de.wikipedia.org/wiki/Arkustangens_und_Arkuskotangens#Ableitungen

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Als Tipp ist angegeben, dass es hilfreich sei erst partial zu integrieren. --->ja

= int (ln(x^2+3) *1) dx

Setze:

u' =1

v= ln(x^2+3)

-------->

u=x

v'= (2x)/(x^2+3)

---------<

=x *ln(x^2+3) - int x *(2x)/(x^2+3) dx

Avatar von 121 k 🚀

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