Integration durch Substitution mit ln. ∫ ln(x²+3) dx

Question

Hallo :)

Ich muss mit Hilfe von Substitution eine integralfreie Darstellung finden:

∫ ln(x²+3) dx

Als Tipp ist angegeben, dass es hilfreich sei erst partiell zu integrieren.

Answer 1

∫ LN(x^2 + 3) dx

∫ 1·LN(x^2 + 3) dx

Partielle Integration

x·LN(x^2 + 3) - ∫ x·(2·x)/(x^2 + 3) dx

x·LN(x^2 + 3) - ∫ 2·x^2/(x^2 + 3) dx

x·LN(x^2 + 3) - ∫ (2 - 6/(x^2 + 3)) dx

x·LN(x^2 + 3) - ∫ 2 dx + ∫ 6/(x^2 + 3) dx

x·LN(x^2 + 3) - 2·x + 2·√3·arctan(x/√3) + c

----------------------------------------------------------------------------------------------------

∫ 6/(x^2 + 3) dx

∫ 2/(x^2/3 + 1) dx

Subst. z = x/√3

dz = 1/√3 dx --> dx = √3 dz

∫ 2/(z^2 + 1) √3 dz

∫ 2·√3 · 1/(z^2 + 1) dz

2·√3·arctan(z) + c

Resubst.

2·√3·arctan(x/√3) + c

Comments

Merke dazu vielleicht auch

∫ (a/(b·x^2 + c) dx = a/√(b·c)·arctan(√(b/c)·x)

∫ 6/(1·x^2 + 3) dx = 6/√(1·3)·arctan(√(1/3)·x) = 2·√3·arctan(x/√3)

Answer 2

folge dem Hinweis der partiellen Integration. Dabei ist der zweite Faktor die "unsichtbare" 1.

Kommst auf:

xln(x^2+3) - ∫ 2x^2/(x^2+3) dx

Kommst Du damit weiter? Tipp: Polynomdivision und dann an den arctan denken ;).

Grüße

Comments

Danke schonmal, aber wie komme ich nun weiter.. ich muss ja eine Substitution machen. Leider weiß ich nicht was ich substituieren soll :/ Mit der Polynomdivision komme ich auch nicht weiter :( da kommt doch wieder ein bruch raus oder?

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Hast du den Tipp zuende gelesen? 

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ja, aber ich weiß nicht wie ich das mit arctan substituiere..

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Es genügt, wenn du die Ableitung von arctan kennst.

https://de.wikipedia.org/wiki/Arkustangens_und_Arkuskotangens#Ableitungen

Answer 3

Als Tipp ist angegeben, dass es hilfreich sei erst partial zu integrieren. --->ja

= int (ln(x^2+3) *1) dx

Setze:

u' =1

v= ln(x^2+3)

-------->

u=x

v'= (2x)/(x^2+3)

---------<

=x *ln(x^2+3) - int x *(2x)/(x^2+3) dx